OC曲线

什么是OC曲线

当用一个确定的抽检方案对产品批执行检查时，产品批被接收的几率是随产品批的批不合格品率p改变而改变的，它们之间的关系可以用一条曲线来表明，这条曲线称为抽样特性曲线，简称为OC曲线。

OC曲线的性质

（1） 抽样特性曲线和抽样方案是一一对应关系，也就是说有一个抽样方案就有对应的一条OC曲线；相反，有一条抽样特性曲线，就有与之对应的一个抽检方案。

（2） OC曲线是一条通过（0，1）和（1，0）两点的接连曲线。

（3） OC曲线是一条严格单调下滑的函数曲线，即对于p1L（p2）。

">编辑] OC曲线与（n|c）方案中参数的关系

受于OC曲线与抽样方案是一一对应的，故更改方案中的参数必致使OC曲线发生改变。但如何改变呢？它们之间的改变有什么关系呢？下面分三种情形执行讨论。

（1） 维持n固定不变，令c改变，则假使c放大，则曲线往上改变，方案放宽；假使c减小，则曲线朝下变形，方案加严。

（2） 维持c不变，令n改变，则假使n放大，则曲线朝下变形，方案加严；反之n减小，则曲线往上变形，方案放宽。

（3） n，c同期发生改变，则假使n放大而c减小时，方案加严；若n减小而c放大时，则方案放宽；若n和c 同期放大或减小时，对OC曲线的影响比较复杂，要看n和c的改变程度各有多大，不能一概而论。假使n和c尽量降低时，则方案加严；对于n和c不同量改变的情形，只要适当选取它们各自的改变程度，就能使方案在（0，pt）和（pt，1）这两个区间的一个区间上加严，而其他区间上放宽，这一点对我们是很有用的。

">编辑] 百分比抽样的不合理性

我国不少企业在抽样检查时仍沿用百分比抽检法，所谓百分比抽检法，就是不论产品的批量大小，都规定相同的判定数，而样本也是依照相同的比例从产品批中抽取。即假使仍用c表明判定数，用k表明抽样比例系数，则抽样方案随交检批的批量改变而改变，可以表明为（kN|c）。通过OC曲线与抽样方案改变的关系很容易弄清楚百分比抽检的不合理性。由于，对一种产品执行质量检查，不论交检产品批的批量大小，都应采取宽严程度基本相同的方案。但是采取百分比抽检时，不更改判定数c，只依据批量不同更改样本容量n，因此对批量不同的产品批采取的方案的宽严程度显著不同，批量大则严，批量小则宽，故很不合理。百分比抽检事实是一种直觉的经验做法，没有科学根据，所以应注意纠正该种不合理的做法。

">编辑] 抽检方案优劣的判别

既然更改参数，方案对应的OC曲线就跟随更改，其检查效果也就不同，那么什么样的方案检查效果好，其OC曲线应具有什么形状呢？下面就来讨论这一困难。

（1）理想方案的特性曲线

在执行产品质量检查时，总是首先对产品批不合格品率规定一个值p0来作为分析标准，即当批不合格品率p≤p0时，产品批为合格，而当p>p0时，产品批为不合格。所以，理想的抽样方案应该满足：当p≤p0时，接收几率L（p）=1，当p>p0时，L（p）=0。其抽样特性曲线为两段水平线，如下图所示：

理想方案事实是不存在的，由于，只有执行全数检查且精准无误才可高达该种境界，但检查很难做到没有错检或漏检的，所以，理想方案导致理论上存在的。

（2）线性抽检方案的OC曲线

所谓线性方案就是（1|0）方案，由于OC曲线是一条直线而得名的，如下图所示，

由上图可见，线性抽检方案是从产品批中随机地抽取1个产品执行检查，若这个产品不合格，则判产品为批不合格品，若这个产品不合格，则判产品批不合格。这个方案的抽样特性函数为：

由于它和理想方案的差距太大，所以，该种方案的检查效果是很差的。

理想方案尽管不存在，但这并没有妨碍把它作为评价抽检方案优劣的根据，一个抽检方案的OC曲线和理想方案的OC曲线靠近程度就是评价方案检查效果的准则。为了衡量该种靠近程度，一般是首先规定两个参数p0和p1（p0

OC曲线案例分析 ">编辑] 案例一:用OC曲线对抽样方案的评价

抽样检验是质量管理的工作之一，也是检验产品质量的一种十分重要、经济的手段。在对某型产品执行装箱检验时感觉到检验规范中的抽样方案一样本量过大，检验成本过高，经与顾客代表商量，放大AQL值，降低样本量，采取抽样方案二，减弱了检验成本。产品批量N=125，方案一为(n=20|Ac = 0,Re = 1),方案二为(n=5|Ac = 0,Re = 1),下面oc曲线对两方案执行比较和评价。

一、接收几率与OC曲线

(1)接收几率

抽样方案是实行抽样检验的首要根据，计数抽样方案包含样本量力和判定数组Ac和Re，Ac是样本中发现的不合格品数的上限值，Re是下限值。设采取一次抽样方案(n|Ac,Re)执行抽样检验，从批中抽取包含力个单位产品的样本，在这个样本中包含的不合格品数事实上是一个随机变量，用』表明这个随机变量。受于“X=1”、“X=2”、…直到“X = Ac”都可以分析出接收，而这些事件是互不相容的。用Pa(P)表明当批不合格品率为p时抽样方案的接收几率，则有：

(1)

依据几率论知识可知，样本中不合格品数唯一服从超几何分布，接收几率可由下式给出：

(2)

式中：Np——批中总体不合格品数。

公式(2)计算起来较复杂，常采取二项分布和泊松分布近似计算法以简化运算。事实上当Ⅳ相对于力较大(如N≥10n)时，这三种公式的计算结果比较靠近。国家标准GB／T 2828.1-2003《技术抽样检验程序第1部分：按接受质量限(AQL)检索的逐批检验抽样计划》标准中对方案接收几率的计算，均采取泊松分布或二项分布计算公式计算。当AQL>10.O时，按泊松分布计算，适用于每百单位产品不合格数的检验，其公式为：

(3)

当AQL≤10.0时，按二项分布计算，适用于不合格品百分数检验，其公式为：

(4)

(2)OC曲线

一般称式(1)所给定的函数P_a(P)为抽样方案(n|Ac,Re))的抽检特性函数，简称Oc函数。假使以p为横坐标，以Pa(P)为纵坐标，则P和Pa(P)组成的一连串点所连成的曲线就是抽样检验特性曲线(The Operating Characteristic Curve)，简称OC曲线。每个抽样方案，都有它特定的OC曲线，在事实检验中，提交批的质量水平是不晓得的，0C曲线形象地表明了在任一假定的质量水平(即不合格品百分数)下批被接收的几率。OC曲线对于正确选取、运用抽样方案及评价抽样方案都有很重要的作用。

二、OC曲线影响要素分析

依据(2)式，一次抽样方案的OC曲线与参数N、n、Ac相关，这些参数的不同组合，就得到不同形状的OC曲线。下面分析N、n、Ac对OC曲线的影响。

(1)批量N对OC曲线的影响

从上图中A、B、C三种抽样方案的OC曲线可以看出，N的改变对OC曲线的影响很小。当Ⅳ相对力很大时(n/N≤0.1)时，不考虑N的影响所以，一般把一次抽样检验方案只写出(n,Ac)就可以了。

(2)接收判定数Ac对OC曲线的影响

从上图可以看出，当抽样方案中的Ⅳ和刀确定，Ac由大变小时，0C曲线由右向左移动，而且倾斜度变大，表明方案的检验特性亦在改变。当处在同样的P值时，Ac值降低使接收几率P_a(p)减弱，这就代表着方案变严。反之若Ac值增长，接收几率Pa(p)亦在增长，则抽样检验方案放宽。

此外，曲线由右向左移动并不是是平行移动，曲线越向左移就变得更陡，使接收几率的改变率放大，也就使灵敏度增长。

(3)样本量n对OC曲线的影响

从上图可以看出，当方案的N和Ac确定，n增长使OC曲线由右向左移动，代表着方案变严。反之n减小，则曲线往上变形，方案放宽。

(4)样本量力和接收数A，同期发生改变时对OC曲线的影响。

N、Ac，同期发生改变，则假使n放大而Ac。减小时，方案加严；若n减小而Ac，放大时，则方案放宽；若n和Ac，同期放大或减小时，对OC曲线的影响比较复杂，要看n和Ac的改变程度各有多大，不能一概而论。假使n和Ac，尽量降低时，则方案加严；对于n和Ac不同量改变的情形，只要适当选取它们各自的改变程度，就能使方案在(0,Pt)和(Pt,1)这两个区间的一个区间上加严，而其他区问上放宽，这一点对我们是很有用的。

三、抽样方案优劣的判别

既然更改参数，方案对应的OC曲线就跟随更改，其检查效果也就不同，那么什么样的方案检查效果好，其OC曲线应具有什么形状呢?下面就来讨论这一困难。

(1)理想方案的OC曲线

在执行产品质量检查时，总是首先对产品批不合格品率规定一个值P0(即AQL)来作为分析标准，即当批不合格品率p≤P0时，产品批为合格，而当p>P_0时，产品批为不合格。所以，理想的抽样方案应该满足：当p≤P0时，接收几率Pa(p) = 1，当p > P0时，Pa(p) = 0。其抽样特性曲线为两段水平线，见下图。

理想方案事实是不存在的，由于，只有执行全数检查且精准无误才可高达该种境界，但检查很难做到没有错检或漏检的，所以，理想方案导致理论上存在的。

(2)抽样方案的辨别率

我们期望事实的OC曲线应尽或许靠近于理想的OC曲线，才具有很大好的辨别力，使质量好的批能以高几率接收，对质量差的批应以高几率拒收。一个抽检方案的OC曲线和理想方案的OC曲线靠近程度就是评价方案检查效果的准则。为了衡量该种靠近程度，一般是首先规定两个参数P0和P1(P0 < P1)，P0是接收上限，即期望对p≤P_0的产品批以尽或许高的几率(一般觉得大于95％)接收；P1是拒收下限，即期望对p≥P0的产品批以尽或许低的几率(一般觉得差于10％)接收。常用辨别率伽定量地衡量某个抽样方案的即抽样方案区分好批与坏批的综合能力，p足值越小，方案的鉴别力越高，表明不合格品率一旦增高，接收几率将快速减弱。OR表达式如下：

(5)

式中：P0.10——接收几率为0.10时对应的质量水平；

P0.95——接收几率为0.95时对应的质量水平。

(3)抽样检验的两类风险

抽样检验是一个通过部分(样本)去分析总的(批)的统计推断过程，所以就或许显现两类错误分析，即或许把合格的产品批错判为不合格的产品批，该种错判称为第一类错误；仍有或许把不合格的产品批判为合格品，后一类错误称为第二类错误。

若规定p≤P0的产品批为质量好的产品批，p≥P_1的产品批为质量很差的产品批。受于存在着两类错判，所以p≤P0的产品批不能消除拒收的机会性，这一机会的大小用α = 1 − Pa(P0)来表明，称为第一类错判率，因这类错判会给生产方导致损失，口又称为生产方风险。同样p≥P_1的产品批不能消除接收的机会性，该种机会的大小用β = 1 − Pa(P1)表明，称为第二类错判率，受于第二类错判率表明给运用方导致的损失的大小，β又称为运用方风险。两种误判的机会性可以从抽查特性曲线向上瞧出来，如下图所示。

P0、P1、α和β均为抽样检查的重要参数，对一个确定方案，可以通过这几个参数去执行分析评价。若记α = 1 − Pa(P0),β = 1 − Pa(P1)，则可以通过这四个参数反应一个抽检方案和理想方案的靠近程度，当固定P0、P1时，α、β越小的方案就越好；同理若对固定的α、β值，则P0和P1越靠近越好，即P1 / P0越小越好；当α和,，则抽检方案就趋于理想方案。

四、用0C曲线对两抽样方案的评价

(1)OC曲线的比较

某型产品包装检验两抽样方案中产品批量N=125，检验水平为S-3，方案一AQL=0.65，方案二AQL=2.5。利用公式(4)的OC函数，分别绘制两方案的OC曲线，见下图。

方案一：n=20；Ac = O，Re = l。

方案二：n=5；Ac = O，Re = 1。

从图6两条曲线可以看出，在与一质量水平p值下，方案一对应的接收几率要差于方案二对应的接收几率，可以说方案一比方案二严格。这与前面提及的样本量对OC曲线的影响分析是统一的，即接收数Ac不变，样本量力增长，曲线变陡，方案变严格。这里所说的严是对生产方来说，但对运用方是有利的。

(2)辨别力的比较从OC曲线上还可以求得接收几率为0．1和0.95时，分别对应的质量水平P0.10和P0.95,依据公式(5)计算出两方案的OR值，结果如下:

受于OR1 < OR2,所以可以说方案二的鉴别力好于方案一。

(3)两种风险的比较设P0 = 0.0l，P1 = 0.1，两方案的双方风险分别见表l。

两方案α与β的比较

从理论上讲，当固定P0、P1时，α、β越小的方案就越好。但从数理统计角度看，β很小时，样本量n将非常大。所以，运用方不能强求α=β或β≤α。运用方承受的真实风险完全依靠于供应产品的质量，当有充足理由证明产品质量很好时，运用方承受的风险是很小的。所以，运用方应把注意力放在生产方的质量管理体系的功能上，以减小运用方风险。

对于逐批接连生产，是在生产方已具备了成批生产合格产品的情形下投产的，所以策划抽样方案时优先考虑保护生产方。

依据以上原则，α2 < α1，所以，应选择方案二。

通过对某型产品包装检验两种抽样方案OC曲线的对比，可以看出方案一比方案二严格，对生产方不利；通过对两方案鉴别力的计算，方案二的鉴别力好于方案一；从保护生产方的角度出发，我们应当选取α小的方案，即方案二；O C曲线是建立在几率论与数理统计基础之上的抽样检验特性曲线，利用它可以较好地确定合格质量水平(AQL)、生产方风险、消费方风险、检验水平；抽样方案的选择事实上是买卖双方质量损失和经济性的平衡。依据OC曲线的特性，各单位可以依据本身产品的质量水平，确定合理的抽样方案，致使产品批能以高几率被接收，进而减弱生产方风险，提升生产效益；同期依据运用方提出的抽样方案，增强对产品质量的监督和检验，调整生产，进而高达生产方和运用方双赢的目的。有关条目接收几率 参考文献 ↑ 1.0 1.1 1.2 洪国芳.《生产管理学》.计数抽样检查的一般原理 ↑ 程万影,徐毅,郝雪颖.用OC曲线对抽样方案的评价.国防技术基础,2008,(5) ↑ 肖惠.GB／T2828.1-2OO3《(计数抽样检验程序第1部分:按接收质量限(AQL)检索的逐批检验抽样计划》理解与实行.北京:中国标准出版社,2003