二项期权定价模型

简述

二项期权定价模型

二项期权定价模型由考克斯（Cox）、罗斯（Ross）、鲁宾斯坦（Rubinstein）和夏普（Sharpe）等人提出的一种期权定价模型，首要用于计算美式期权的价值。

二项期权定价模型如果股价波动只有往上和朝下两个方向，且如果在整个考察期内，股价每次往上(或朝下)波动的几率和程度不变。模型将考察的存续期分为若干阶段，依据股价的历史波动率模拟出正股在整个存续期内所有机会的成长路径，并对每一路径上的每一节点计算权证行权收益和用贴现法计算出的权证价格。对于美式权证，受于可以提早行权，每一节点上权证的理论价格应为权证行权收益和贴现计算出的权证价格两者较大者。

构建步骤

1973年，布莱克和休尔斯(Blackand Scholes)提出了布莱克·休尔斯期权定价公式，对标的资产的单价服从正态分布的期权执行定价。随后，罗斯开始研究标的资产的单价服从非正态分布的期权定价理论。1976年，罗斯和约翰·考科斯(John Cox)在《金融经济学杂志》上发表论文“基于另类随机过程的期权定价”，提出了风险中性定价理论。

1979年，罗斯、考科斯和马克·鲁宾斯坦(Mark Rubinstein)在《金融经济学杂志》上发表论文“期权定价：一种简单的方法”，该文提出了一种简单的对离散时间的期权的定价方法，被称为Cox-Ross-Rubinstein二项式期权定价模型。

二项式期权定价模型和布莱克-休尔斯期权定价模型，是两种相互补充的方法。二项式期权定价模型推导比较简单，更适合表明期权定价的基本概念。二项式期权定价模型建立在一个基本如果基础上，即在给定的时间间隔内，证券的单价运动有两个或许的方向：上涨或者下挫。尽管这一如果非常简单，但受于可以把一个给定的时间段细分为更小的时间单位，因此二项式期权定价模型适用于处理更为复杂的期权。

伴随要考虑的单价变动数目的增长，二项式期权定价模型的分布函数就越来越趋向于正态分布，二项式期权定价模型和布莱克-休尔斯期权定价模型相统一。二项式期权定价模型的优点，是简化了期权定价的计算并增长了直观性，所以当下已形成全球各大证券交易所的首要定价标准之一。

一般来看，二项期权定价模型的基本如果是在每一期间股价的变动方向只有两个，即上升或下滑。BOPM的定价根据是在期权在首次买进时，能建立起一个零风险套头交易，或者说可以运用一个证券组合来模拟期权的价值，该证券组合在没有套利机会时应等于买权的价 格；反之，假使存在套利机会，投资人则可以买两种产品种价格便宜者，出售价格较高者，进而得到无风险收益，诚然该种套利机会只会在极短的时间里存在。这一 证券组合的首要功能是给出了买权的定价方法。与期货不同的是，期货的套头交易一旦建立就不用更改，而期权的套头交易则需持续调整，直至期权到期。

二叉树思想

1：Black-Scholes方程模型优缺点：

优点：对欧式期权，有精确的定价公式；

缺点：对美式期权，无精确的定价公式，不或许求出解的表达式，而且数学推导和求解过程在金融界较难接受和掌握。

2：思想：

假定到期且只有两种或许，而且涨降幅都是10%的如果都很粗略。修改为：在T分为狠多小的时间间隔Δt，而在每一个Δt，股票价格改变由S到Su或Sd。假使价格上升几率为p，那么下挫的几率为1-p。

3：u,p,d的确定：

由Black-Scholes方程告诉我们：可以假定市场为风险中性。即股票预期收益率μ等于无风险利率r，故有：

SerΔt = pSu + (1 − p)Sd（23）

即：e^{rDelta t}=pu+(1-p)d=E(S)（24) 又因股票价格改变符合布朗运动，进而

（25）

=>D(S) = σ2S2δt；

利用D(S) = E(S2) − (E(S))2

E(S2) = p(Su)2 + (1 − p)(Sd)2

=>σ2S2Δt = p(Su)2 + (1 − p)(Sd)2 − [pSu + (1 − p)Sd]2

=>σ2Δt = p(u)2 + (1 − p)(d)2 − [pu + (1 − p)d]2（26）

又由于股价的上升和下挫应满足：ud=1（27）

由（24），（26），（27）可解得：

其中：a = erδt。

4：结论：

在相等的充分小的Δt时段内，无论开始时股票价格如何。由（28）~（31）所确定的u,d和p均为常数。（即只与Δt,σ,r相关，而与S无关）。