Black-Scholes期权定价模型

简介

其如果条件

(一)B-S模型有5个重要的如果

1、金融资产收益率服从对数正态分布；

2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；

3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；

4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该如果后被放弃)；

5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实行。

(二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式

C=S•N(D1)-L•E-γT•N(D2)

其中:

D1=1NSL+(γ+σ22)Tσ•T

D2=D1-σ•T

C—期权初始合理价格

L—期权交割价格

S—所交易金融资产现价

T—期权有效期

r—接连复利计无风险利率H

σ2—年度化方差

N()—正态分布变量的累积几率分布函数，在此应该表明两点：

第一，该模型中无风险利率务必是接连复利形式。一个简单的或不接连的无风险利率(设为r0)一般是一年复利一次，而r要求利率接连复利。r0务必转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为:r=LN(1+r0)或r0=Er-1。比如r0=0.06，则r=LN(1+0.06)=0853，即100以583%的接连复利投资第二年将获106，该结果与直接用r0=0.06计算的答案统一。

第二，期权有效期T的相对数表明，即期权有效天数与一年365日的比值。假使期权有效期为100日，则T=100365=0.274。

推导运用

(一)B-S模型的推导B-S模型的推导是由看多期权入手的，对于一项看多期权，其到期的期值是:

E[G]=E[max(ST-L，O)]

其中，E[G]—看多期权到期期望值

ST—到期所交易金融资产的市场价值

L—期权交割(实行)价

到期有两种或许情形:

1、假使ST>L，则期权实行以进帐(In-the-money)生效，且mAx(ST-L，O)=ST-L

2、假使ST<>

max(ST-L，O)=0

进而:

E[CT]=P×(E[ST|ST>L)+(1-P)×O=P×(E[ST|ST>L]-L)

其中:P—(ST>L)的几率E[ST|ST>L]—既定(ST>L)下ST的期望值将E[G]按有效期无风险接连复利rT贴现，得期权初始合理价格:

C=P×E-rT×(E[ST|ST>L]-L)(*)如此期权定价转化为确定P和E[ST|ST>L]。

首先，对收益执行定义。与利率统一，收益为金融资产期权交割日市场价格(ST)与现价(S)比值的对数值，即收益=1NSTS。由如果1收益服从对数正态分布，即1NSTS～N(μT，σT2)，所以E[1N(STS]=μT，STS～EN(μT，σT2)可以证明，相对价格期望值大于EμT，为:E[STS]=EμT+σT22=EμT+σ2T2=EγT进而，μT=T(γ-σ22)，且有σT=σT

其次，求(ST>L)的几率P，也即求收益大于(LS)的几率。已知正态分布有性质:Pr06[ζ>χ]=1-N(χ-μσ)其中:ζ—正态分布随机变量χ—核心值μ—ζ的期望值σ—ζ的标准差所以:P=Pr06[ST>1]=Pr06[1NSTS]>1NLS]=1N-1NLS2)TTNC4由对称性:1-N(D)=N(-D)P=N1NSL+(γ-σ22)TσTArS第三，求既定ST>L下ST的期望值。由于E[ST|ST]>L]处在正态分布的L到∞规模，所以，

E[ST|ST]>=S•EγT•N(D1)N(D2)

其中:D1=LNSL+(γ+σ22)TσTD2=LNSL+(γ-σ22)TσT=D1-σT

最后，将P、E[ST|ST]>L]代入(*)式整理得B-S定价模型:C=S•N(D1)-L•E-γT•N(D2)

(二)B-S模型应用实例

如果市场上某股票现价S为164，无风险接连复利利率γ是0.0521，市场方差σ2为0.0841，那么实行价格L是165，有效期T为0.0959的期权初始合理价格计算步骤如下:

①求D1:D1=(1N164165+(0.052)+0.08412)×0.09590.29×0.0959=0.0328

②求D2:D2=0.0328-0.29×0.0959=-0.570

③查标准正态分布函数表，得:N(0.03)=0.5120N(-0.06)=0.4761

④求C:C=164×0.5120-165×E-0.0521×0.0959×0.4761=5.803

所以理论上该期权的合理价格是5.803。假使该期权市场事实价格是5.75，那么这代表着该期权有所低估。在没有交易成本的条件下，买入该看多期权有利可图。

(三)看空期权定价公式的推导

B-S模型是看多期权的定价公式，依据售出—购进平价理论(Put-callparity)可以推导出有效期权的定价模型，由售出—购进平价理论，买入某股票和该股票看空期权的组合与买入该股票同等条件下的看多期权和以期权交割价为面值的无风险折扣发行债券具有同等价值，以公式表明为:

S+PE(S，T，L)=CE(S，T，L)+L(1+γ)-T

移项得:PE(S，T，L)=CE(S，T，L)+L(1+γ)-T-S，将B-S模型代入整理得:P=L•E-γT•[1-N(D2)]-S[1-N(D1)]此即为看空期权初始价格定价模型。

模型发展

B-S模型只处理了不分红股票的期权定价困难，默顿发展了B-S模型，使其亦运用于支付红利的股票期权。

(一)存在已知的不接连红利如果某股票在期权有效期内某时间T(即除息日)支付已知红利DT，只需将该红利现值从股票现价S中除却，将调整后的股票价值S′代入B-S模型中即可:S′=S-DT•E-rT。假使在有效期内存在其它所得，依该法一一减去。进而将B-S模型变型得新公式:

C=(S-•E-γT•N(D1)-L•E-γT•N(D2)

(二)存在接连红利支付是指某股票以一已知分红率(设为δ)支付不间断接连红利，假如某公司股票年分红率δ为0.04，该股票现值为164，进而该年可望得红利164×004=6.56。值得注意的是，该红利并不是分4季支付每季164；实际上，它是随美元的极小单位接连持续的再投资而自然上涨的，一年累积形成6.56。由于股价在全年是持续波动的，事实红利也是改变的，但分红率是固定的。所以，该模型并没有要求红利已知或固定，它只要求红利按股票价格的支付比例固定。

在此红利现值为:S(1-E-δT)，所以S′=S•E-δT，以S′代S，得存在接连红利支付的期权定价公式:C=S•E-δT•N(D1)-L•E-γT•N(D2)

模型影响

自B-S模型1973年第一次在政治经济杂志(Journalofpo Litical Economy)发表之后，芝加哥期权交易所的平台商们即将意识到它的重要性，迅速将B-S模型程序化输入计算机应用于刚刚运营的芝加哥期权交易所。该公式的应用伴随计算机、通讯技术的进步而扩展。到今天，该模型以及它的一部分变形已被期权平台商、投资银行、金融管理者、保险人等普遍运用。衍生工具的扩展使国际金融市场更富裕效率，但也促使世界市场愈加易变。新的技术和新的金融工具的创造增强了市场与市场参与者的相互依靠，不仅限于一国之内还涉及他国甚至多国。结果是一个市场或一个国家的波动或金融危机极有机会快速的传导到其它国家乃至整个世界经济当中。中国金融体制不健全、资本市场不完善，但是伴随改革的深入和向国际化靠拢，资本市场将持续发展，汇兑制度日渐完善，企业也将拥有许多的自主权进而面对更大的风险。所以，对规避风险的金融衍生市场的培育是必需的，对衍生市场执行探索也是必要的，民众才刚刚启动。 ^[1]