无风险资产

无风险资产是指具有确定的收益率，而且不存在违约风险的资产。

从数理统计的角度看，无风险资产是指投资收益的方差或标准差为零的资产。诚然，无风险资产的收益率与风险资产的收益率之间的协方差及有关系数也为零。

从理论向上瞧，只有由中央政府发行的、期限与投资人的投资期长度相匹配的、完全指数化的债券才可视作无风险资产。在现实经济中，完全符合上述条件的流通中的有价证券非常少。故在投资实务中，一般把无风险资产看作是货币市场工具，如国库券利率LIBOR。

风险资产与无风险资产的组合

(1).投资于一种风险资产与一种无风险资产的组合

设某投资管理包含一种无风险资产（如无风险贷款）和一种风险资产。无风险资产的收益率为r_f，标准差为σ_f。风险资产的期望收益率为E(r_i)，标准差为σ_i，它在投资管理中所占的比重为w_i。风险资产与无风险资产的协方差为σ_if，有关系数为ρ_if。那么，该投资管理的期望收益率和方差分别为：

E(r_p) = w_iE(r_i) + (1 − w_i)E(rf)

受于r_f为常数，σ_f = 0，且σ_if = E = 0，故：

E(r_p) = w_iE(r_i) + (1 − w_i)r_f

σ_p = w_iσ_i

将代入E(r_p)的计算公式，可得：

在上式中，r_f、E(r_i)和σ_i都已知。这表明，此时投资管理的期望收益率E(r_p)与其标准差σ_p之间呈线性关系。受于，而且正常情形下风险资产的期望收益率E(r_i)应好于无风险资产的收益率r_f，所以，更改组合中风险资产和无风险资产的比例，按不同比例搭配组成的投资管理的集合会是如图1中的一条往上倾斜的直线段AB。

其中，A点表明组合中只有无风险资产，A点的坐标为（0，r_f）。B点表明组合中只有某种风险资产，B点的坐标为（σ_i，E(r_i)）。显然，直线段AB上所有的投资管理均为有效的，直线段AB就是由一种风险资产和一种无风险资产组成的投资管理的有效界面。

(2).投资于多种风险资产与一种无风险资产的组合

为简化困难，当下我们设想其中的每一个组合都被固定了下来。显然，这时集合中的每一个组合都相当于（或可以看作）一种期望收益率为E(r_i)、标准差为σ_i的风险资产。假使用其中的某一个组合和收益率为r_f的无风险资产按不同的比例组成一个新的投资管理的集合，那么这个新的投资管理的集合仍可以用一条直线段来体现。如图2所示，点A表明无风险资产，点D 是由多种风险资产组成的任一投资管理，连接点A和点D的直线段AD就表明由这一风险资产组合和无风险资产按不同的比例组成的各种新投资管理的集合。

当下我们来分析一下，在引入无风险资产之后，由无风险资产和多种风险资产组成的投资管理（简称新投资管理）的有效界面与原来只有风险资产时的情形有何不同。为此，在图2中，我们仍用一个区域来表明多种风险资产组成的所有投资管理，并用点P表明这些风险资产的收益—方差界面上方差最小的证券组合 MVP。显然，在这些风险资产的有效界面P-E-K上我们总可以寻到一点B，致使连接点A和点B的直线段AB刚好与风险资产的有效界面P-E-K相切于点 B。我们称点B所代表的投资管理为切点处的投资管理。它是风险资产的有效界面上一个非常特殊的投资管理。由于没有任何一种风险资产组合与无风险资产组成的新投资管理可以位于直线段AB的左上方，也就是说，直线段AB的斜率最大，直线段AB上的投资管理均为有效的。

与此相对应，其他重要的事实是，在风险资产的有效界面P-E-K上，点B左下边的点所对应的投资管理不再是有效的。换句话说，曲线段P-C-B不再是新投资管理的有效界面的一部分。这是由于，对于曲线段P-C-B上的风险资产的任一有效组合来说，在期望收益率相等的情形下总可以在直线段AB上寻到风险更小的投资管理；在风险相同的情形下也总可以在直线段AB上寻到期望收益率更高的投资管理。于是，依照有效界面的定义，曲线段P-C-B上的投资管理不再是有效投资管理，而直线段AB上的投资管理均为有效的。这表明，当投资人可以同期投资于无风险资产和多种风险资产时，新投资管理的有效界面将由直线段AB和曲线段B-E-K组成，其中直线段AB代表点A对应的无风险资产和点B对应的风险资产组合以各种比例结合所组成的各种有效投资管理，而曲线段B-E-K则代表点B的右上方完全由风险资产所组成的各种有效投资管理。

在现实生活中，投资人往往可以借入资金并将其用于买入风险资产。受于借款务必支付利息，而利率是已知的，在该借款本息偿还上不存在未知性，所以，我们可以把该种借款称为无风险借款。为简化起见，我们假定投资人可以按相同的利率执行无风险借款。

(1).无风险借款并投资于一种风险资产的情形

为了考察存在无风险借款时投资管理的有效界面，我们需要对前面的推导过程作适当的扩展。为此，我们只需把无风险借款看成负的无风险资产即可。仍设投资管理中风险资产所占的比重为w_i，则无风险借款所占的比重为(1 − w_i)，而且w_i > 1，1 − w_i < 0。依照同样的推导过程，我们依然可以推导出下式成立：

这表明，此时投资管理的期望收益率E(r_p)与其标准差σ_p之间依然呈线性关系。但是，受于此时，而且正常情形下风险资产的期望收益率E(r_i)应好于无风险借款的利率r_f，所以，此时投资管理的集合将显现为图1中直线段AB向右上方的延长线BZ（见图3）。显然，直线BZ上所有的投资管理均为有效的，直线BZ就是执行无风险借款并投资于一种风险资产时的有效界面。

(2).无风险借款并投资于多种风险资产的情形

同样地，执行无风险借款并投资于多种风险资产的组合时，其风险和期望收益率的关系与投资于一种无风险资产和多种风险资产的组合类似。这时由多种风险资产组成的每一种组合仍相当于（或可以看作）一种期望收益率为E(r_i)、标准差为σ_i的风险资产。假使以无风险利率r_f执行无风险借款（相当于负的无风险投资）并将其投资于该种风险资产组合，那么伴随无风险借款在组合中比例的更改，各种投资管理的集合显现为图2中连接点A和点D的直线段AD向右边的延长线DN（见图4）。其中，点A表明无风险借款，点D是由多种风险资产组成的任一投资管理。

当下我们来分析一下，在执行无风险借款并投资于多种风险资产的情形下，其有效界面与仅用期初的财富投资于多种风险资产时的情形有何不同。

为此，在图4中，我们仍用一个区域来表明多种风险资产组成的所有投资管理，并用点P表明这些风险资产的收益—方差界面上方差最小的证券组合MVP。

那么，在这些风险资产的有效界面P-E-K上我们仍可以寻到一点B，致使连接点A和点B的直线段AB刚好与风险资产的有效界面P-E-K相切于点B。直线段AB向右上方的延长线BZ就表明执行无风险借款并投资于点B所对应的风险资产组合的各种或许组合。

受于直线BZ上的所有投资管理都好于曲线段B-E-K（风险资产有效界面上点B右上边的部分）上的投资管理，于是，依照有效界面的定义，此时曲线段 B-E-K上的投资管理不再是有效投资管理，而直线BZ上的投资管理均为有效的。这表明，当投资人可以执行无风险借款并投资于多种风险资产时，新投资管理的有效界面将由曲线段PB和直线BZ组成，其中曲线段PB代表点B的左以下完全由风险资产所组成的各种有效投资管理，直线BZ代表执行无风险借款并投资于点B对应的风险资产组合所组成的各种有效投资管理。

总之，综合上面的讨论，我们不难得出如下结论：假使同期存在无风险资产和风险资产可供投资人选择，同期又允许无风险借款，那么各种资产组合的有效界面将变成一条直线，该直线经历代表无风险资产的点A并与风险资产组合的有效界面相切。换句话说，它也就是图2中的直线段AB和图4中的直线BZ两者一起组成的射线A-B-Z。其中，点B为切点。

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