三门困难——亦称为蒙提霍尔困难、蒙特霍困难或蒙提霍尔悖论（Monty Hall problem）
什么是三门困难
三门困难（Monty Hall problem），是一个源自博弈论的数学游戏困难，大差不差出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。困难的名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。
这个游戏的玩法是：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而此外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时机，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇依然关上的门。困难是：换另一扇门会不会增长参赛者赢得汽车的可能率？假使严格依照上述的条件的话，答案是会—换门的话，赢得汽车的可能率是 2/3。
这条困难亦被叫做蒙提霍尔悖论：尽管该困难的答案在逻辑上并没有自相冲突，但十分违背直觉。这困难曾引起一阵热烈的讨论。
困难与解答
困难
下方是蒙提霍尔困难的一个著名的叙述，来自 Craig F. Whitaker 于1990年寄给《展示杂志》（Parade Magazine）玛丽莲·沃斯·莎凡特（Marilyn vos Savant）专栏的信件：
如果你正在参与一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一同门，如果是一号门，然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，如果是三号门。他然后问你：“你想选择二号门吗？”转换你的选择对你来看是一种优势吗？
以上叙述是对 Steve Selvin 于1975年2月寄给 American Statistician 杂志的叙述的改编版本。如上文所述，蒙提霍尔困难是游戏节目环节的一个引申；蒙提·霍尔在节目中的确会开启一扇错误的门，以增长刺激感，但不会容许玩者更改他们的选择。如蒙提·霍尔寄给 Selvin 的信中所写：
假使你上过我的节目的话，你会认为游戏迅速—选定以后就没有交换的可能。 —(letsmakeadeal.com)
Selvin 在随后寄给 American Statistician 的信件中(1975年8月) 第一次运用了“蒙提霍尔困难”这个名称。
一个实质上完全相同的困难于1959年以“三囚犯困难”（three prisoners problem）的形式显现在马丁·加德纳的《数学游戏》专栏中。葛登能版本的选择过程叙述得十分清晰，避免了《展示杂志》版本里隐含的前提条件。
这条困难的第一次显现，或许是在1889年约瑟夫·贝特朗所著的 Calcul des probabilités 一书中。 在这本书中，这条困难被称为“贝特朗箱子悖论”（Bertrand's Box Paradox）。
Mueser 和 Granberg 透过在主持人的举动身上加之清晰的制约条件，提出了对这个困难的一种不含糊的陈述：
参赛者在三扇门中挑选一扇。他并没有知道内里有什么。 主持人知道每扇门后面有什么。 主持人务必开启剩下的其中一扇门，而且务必供应换门的可能。 主持人永远全将挑一扇有山羊的门。 假使参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人务必挑另一扇有山羊的门。 假使参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人随机在此外两扇门中挑一扇有山羊的门。 参赛者会被问能否维持他的原来选择，依旧转而选择剩下的那一同门。解答
转换选择可以增长参赛者的可能吗？
困难的答案是值得：当参赛者转向另一扇门并非是继续保持原本的选择时，赢得汽车的可能将令加倍。
有三种或许的情形，全部都有相等的机会性(1/3)：
参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。 参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。 参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失利。在头两种情形，参赛者可以透过转换选择而赢得汽车。第三种情形是唯一一种参赛者透过维持原来选择而赢的情形。由于三种情形中有两种是透过转换选择而赢的，所以透过转换选择而赢的几率是2/3。
假使没有最初选择，或者假使主持人随便打开一扇门，又或者假使主持人只会在参赛者做出某些选择时才会问能否转换选择的话，困难全会会变得不一样。比如，假使主持人先从两只山羊中刨去其中一只，然后才叫参赛者做出选择的话，选中的可能将令是 1/2。然而若主持人不晓得哪扇门有羊，在参赛者选择后仍开出羊，此时透过转换选择而赢的几率仍为2/3。
其他解答是如果你永远全将转换选择，这时赢的唯一机会就是选一扇没有车的门，由于主持人其后必定会开启此外一扇有山羊的门，清除了转换选择后选到此外一只羊的机会性。由于门的总数是三扇，有山羊的门的总数是两扇，所以转换选择而赢得汽车的几率是2/3，与初次选择时选中有山羊的门的几率一样。
参考资料
1Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara (1992). "A three-door game show and some of its variants". The Mathematical Scientist 17, no. 2, pp. 89–94
2Bohl, Alan H.; Liberatore, Matthew J.; and Nydick, Robert L. (1995). "A Tale of Two Goats ... and a Car, or The Importance of Assumptions in Problem Solutions". Journal of Recreational Mathematics 1995, pp. 1–9.
3Gardner, Martin (1959). "Mathematical Games" column, Scientific American, October 1959, pp. 180–182.
4Mueser, Peter R. and Granberg, Donald (1999), "The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making" (University of Missouri Working Paper 99-06). http://econwpa.wustl.edu:80/eps/exp/papers/9906/9906001.html (retrieved July 5, 2005).
5Nahin, Paul J. Duelling idiots and other probability puzzlers. Princeton University Press, Princeton,pp. 192-193.
6Selvin, Steve (1975a). "A problem in probability" (letter to the editor). American Statistician 29(1):67 (February 1975).
7Selvin, Steve (1975b). "On the Monty Hall problem" (letter to the editor). American Statistician 29(3):134 (August 1975).
8Tierney, John (1991). "Behind Monty Hall's Doors: Puzzle, Debate and Answer?", The New York Times July 21, 1991, Sunday, Section 1; Part 1; Page 1; Column 5
9vos Savant, Marilyn (1990). "Ask Marilyn" column, Parade Magazine p. 12 (Feb. 17, 1990). cited in Bohl et al., 1995
10Tijms, Henk (2004), Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life , Cambridge University Press, New York, pp. 213-215.