正则形式的博弈

正则形式的博弈

在博弈论中，正则形式是描述博弈的一种方式。与延展形式不同，正则形式不用图形来描述博弈，而是用矩阵来陈述博弈。与延展形式的表述方式对比，该种方式在识别出严格优势策略和纳什均衡上更有用，但会丢失某些信息。博弈的正则形式的表述方式包含如下部分：每个参与者所有显然的和或许的策略，以及和与其相对应的收益。

在非完美信息的完全静态博弈中，正则形式的表述方式详细地表明了参与者策略空间和收益函数。策略空间是某个参与者的所有机会策略的集合。策略是参与者在博弈的每个阶段——不管在博弈中这个阶段事实上能否会显现——将要采取的行动的完整计划。每个参与者的收益函数，是从参与者策略空间的向量积到该参与者收益集合（一般是实数集，数字表明基数效用或序数效用——在正则形式的表述方式中常常是基数效用）的映射。也就是说，参与者的收益函数把策略组合（所有参与者策略的清单）作为它的输入量，然后输出参与者的收益。

正则形式的运用

占优策略

收益矩阵有利于刨去劣势策略，而且经常被用于表明这个概念。比如，在囚徒窘境中（右图），参与者会发现由于其余人的背叛，合作成了严格劣势策略。参与者会比较每列的第一个数字，在这个例子中，3>2且1>0。这显示无论横排参与者怎样选择，竖排参与者选择背叛都比较好些。相似地，参与者会比较每列的第二个数字，同样也是3>2且1>0。这表明无论竖排参与者怎么做，横排参与者选择背叛都比较好些。这就证明了此博弈唯一的纳什均衡是（背叛，背叛）。

正则形式的接连博弈

这些矩阵只表述同期（或者更一般地，信息不完美的）作出行动的博弈。上述矩阵不能表述甲先作出行动，被乙观察到，然后乙再作出行动的博弈。由于在这个例子中，无法确定乙每次的策略。为了表述该种接连博弈，我们要列出乙在博弈执行阶段所有的行动——即使依据事实情形，某种行动决不会显现。和前面一样，在这个博弈中乙有两种选择，左和右。与前面不一样的是，视甲的行动不同而定，乙有四种策略。这些策略是：

1. 假使甲选择顶，选择左；否则，选择左

2. 假使甲选择顶，选择左；否则，选择右

3. 假使甲选择顶，选择右；否则，选择左

4. 假使甲选择定，选择右；否则，选择右

右图是这个博弈的正则形式的表述方式。

通用公式

为了用把博弈表述成正则形式，需要供应下列报告：

*表明参与者的有限集P，标记为

*每个参与者k在P里拥有有限个纯策略.

一个纯策略组合是参与者策略的联合，这是一个m元组.

则有:

我们用来表明策略组合的集合

收益函数形如

其预期解释是博弈终结时予以单个参与者的奖品。相应地，为了完整地表明一个博弈，收益函数务必在参与者集 P= {1, 2, ..., m}中对每个参与者详细表明。

定义：一个正则形式的博弈的结构形如

这里 P = {1,2, ...,m}是参与者集合，

是纯策略集合的一个m元组，每个纯策略对应于一个参与者，而

是收益函数的m元组。

没有理由在前面的讨论中，把参与者数量有限或每个参与者的策稍有限的博弈消除在外。由于要用到泛函分析的技巧，有关有限博弈的研究非常艰深。

实例

有种博弈是参与者同期（或起码在作出行动前不观察其余参与者的动作）作出行动，并依照上述已作出行动的组合得到收益。右边的矩阵是该种博弈得正则形式的表述方式。比如，假使甲作出行动“顶”，而乙作出行动“左”，则甲得到收收益4，乙得到收益3。在每个回合，第一个数字代表竖排参与者（此处为甲）的收益，第二个数字代表横排参与者（此处为乙）的收益。

其余表述方式

对称博弈（其收益不是依靠于参与者选择的动作）常常被表述为只有一种收益，即竖排参与者的收益。比如，左右两边的收益矩阵表述的是同一个博弈。