阿基里斯悖论

【阿基里斯悖论内容】

公元前5世纪，芝诺发态度了著名的阿基里斯和乌龟赛跑悖论：

他提出让乌龟在阿基里斯前面 1000米处开始，而且假定阿基里斯的进展是乌龟的10倍。当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10,乌龟依然前于他10米。当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100，乌龟依然前于他10米……

芝诺解说，阿基里斯能够继续接近乌龟，但决不或许追上它。

有关阿基里斯悖论的其他解释是：阿基里斯的确永远也追不上乌龟。由于当阿基里斯遵循乌龟的轨迹的时机，会不由自主的慢下来，以跟伴随乌龟的节奏前进。

阿基里斯

阿基里斯(Achilles)是希腊神话中善跑的英雄。芝诺讲：阿基里斯在赛跑中不或许追上启动略微领先于他的乌龟，由于当他要到达乌龟出发的那一点，乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩减，但永远追不上乌龟。

有人用物理语言描述这个困难说，在阿基里斯悖论中运用了两种不同的时间度量。一般度量方法是：如果阿基里斯与乌龟在开始时的距离为S，速度分别为V1和V2。当时间T=S/(V1-V2)时，阿基里斯就赶上了乌龟。

但是芝诺的测量方法不同：阿基里斯将逐次到达乌龟在前一次的出发点，这个时间为T'。对于任何T'，或许无限缩短，但阿基里斯永远在乌龟的后面。核心是这个T'无法度量T=S/(V1-V2)以后的时间。^[1]

【推翻阿基里斯悖论】

其实，我们依据中学所学过的无穷等比递缩数列求和的知识，只需列一个方程就可以轻而易举地推翻芝诺的悖论：阿基里斯在跑了

1000（1+0.1+0.01+…………）=1000 (1+1/9)=10000/9米时便可赶上乌龟。

民众觉得数列1+0.1+0.01+…………是永远也不能穷尽的。这只然而是一个错觉。

我们不妨来计算一下阿基里斯能够追上乌龟的时间为 t（1+0.1+0.01+…………）= t (1+1/9)=10t/9

芝诺所说的阿基里斯不或许追上乌龟，就隐藏着时间务必差于10t/9如此一个条件。

受于阿基里斯和乌龟是在持续地运动的，对时间是没有制约的，时间很容易击穿10t/9如此一个条件。一旦击穿10t/9如此一个条件，阿基里斯就追上了或胜过了乌龟。

民众被距离数列1+0.1+0.01+…………好像是永远也不能穷尽的假象迷惑了，没有顾虑到时间数列1+0.1+0.01+…………是很容易高达和胜过的了。

但是不是所有的数列都能高达，所以，我们看困难不能太极端。比如无论多少个点也不能构成直线，对于点的个数来看，我们就永远无法穷尽它。

【悖论定义】

悖论是指一种致使冲突的命题。悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。 假使承认它是真的，经历一连串正确的推理，却又得出它是假的；假使承认它是假的，经历一连串正确的推理，却又得出它是真的。(zh.wikipedia.org/wiki/悖论)

把集合分成两类，凡是不以本身作为元素的集合称为正常集，（比如，自然数集N自身不是一个自然数，所以N是正常集。）凡是以本身作为元素的集合称为异常集。（比如，所有的非生物的集合F并不是生物，所以F是异常集。）

如此，很多日常中常见的悖论(说谎者悖论，理发师悖论，上帝悖论等)都可以归入异常集当中了。

此外一种悖论是有关无限的，尽管我们当下差不多都能接受极限的理论，但是要把这个理论向那些不懂的人解释依旧十分问题的。

比较经典的有：

(古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）的阿基里斯悖论)阿基里斯在赛跑中不或许追上启动略微领先于他的乌龟，由于当他要到达乌龟出发的那一点，乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩减，但永远追不上乌龟。

(古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）的二分法悖论)当一个物体行进一段距离到达Ｄ，它务必首先到达距离Ｄ的二分之一，然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无穷地划分下去。所以，这个物体永远也到达不了Ｄ。

“１厘米线段内的点与太平洋面上的点一样多”

康托尔（１８４５－１９１８）成功地证明了：一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。受于无限，１厘米长的线段内的点，与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”。