基本简介
先了解下什么是悖论。悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。这个词的意义比较丰富，它包含一切与人的直觉和日常经验相冲突的数学结论，那些结论会让我们惊异无比。 悖论是自相冲突的命题。即假使承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，假使承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立假使承认它是真的，经历一连串正确的推理，却又得出它是假的；假使承认它是假的，经历一连串正确的推理，却又得出它是真的。古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了民众求知和精密的思考，吸引了古往今来很多思想家和爱好者的注意力。处理悖论难题需要创造性的思考，悖论的处理又往往可以给人导致全新的观念。悖论有三种首要形式：
1．一种论断看上去好像肯定错了，但事实上却是对的（佯谬）。
2．一种论断看上去 好像肯定是对的，但事实上却错了（似是而非的理论）。3．一连串推理看上去好像无懈可击，可是却致使逻辑上自相冲突。形成分类
集合可以分为两类：第一类集合的特质是：集合自身又是集合中的元素，比如当时民众经常说的“所有集合所成的集合”；第二类集合的特质是：集合自身不是集合的元素，比如直线上点的集合。显然，一个集合务必是而且只能是这两类集合中的一类。当下假定R是所有第二类集合所成的集合。那么，R是哪一类的集合呢？假使R是第一类的，R是自己的元素，但由定义，R只由第二类集合构成，于是R又是第二类集合；假使R是第二类集合，那么，由R的定义，R务必是R的元素，进而R又是第一类集合。总之，左右为难，无法给出回答。这就是著名的“罗素悖论”。
有关案例
世界文学名著《唐·吉诃德》中有如此一个故事：唐·吉诃德的仆人桑乔·潘萨跑到一个小岛上，成了这个岛的国王。他颁布了一条奇怪的法律：每一个到达这个岛的人都务必回答一个困难：“你到这里来做什么？”假使回答对了，就允许他在岛上游玩，而假使答错了，就要把他绞死。对于每一个到岛上来的人，或者是尽兴地玩，或者是被吊上绞架。有多少人敢冒死到这岛上去玩呢？一天，有一个胆大包天的人来了，他照例被问了这个困难，而这个人的回答是：“我到这里来是要被绞死的。”请问桑乔·潘萨是让他在岛上玩，依旧把他绞死呢？假使应当让他在岛上游玩，那就与他说“要被绞死”的话不吻合合，这就是说，他说“要被绞死”是错话。既然他说错了，就应当被处绞刑。但假使桑乔·潘萨要把他绞死呢？这时他说的“要被绞死”就与事实吻合，进而就是对的，既然他答对了，就不该被绞死，而应当让他在岛上玩。小岛的国王发现，他的法律无法实施，由于不管怎么实施，都使法律承受损坏。他思索再三，最后让卫兵把他放了，而且宣称这条法律作废。这又是一条悖论。由著名数学家伯特兰·罗素（Russel，1872—1970）提出的悖论与之类似：在某个城市中有一名理发师，他的广告词是如此写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表明热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然均为那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，该理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？假使他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而假使他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
理发师悖论与罗素悖论是等价的：由于，假使把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣布，他的元素，均为村里不属于本身的那些集合，而且村里所有不属于本身的集合都属于他。那么他能否属于他自己？如此就由理发师悖论得到了罗素悖论。倒过来的变换也是成立的。
形成影响
十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚造成时，曾遭到很多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，而且得到普遍而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因此集合论形成现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦。今天，我们可以说绝对的严格性已经高达了”可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。罗素的这条悖论使集合理论造成了危机。它非常浅显易懂，而且所涉及的导致集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。德国的著名逻辑学家弗里兹在他的有关集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素有关这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了很久得出的一连串结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作马上完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”
1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，迅速渗透到多部分数学分支，形成它们的基础。到19世纪末，全部数学差不多都建立在集合论的基础之上了。就在这时，集合论中接连显现了一部分自相冲突的结果，尤其是1902年罗素提出的理发师故事反应的悖论，它极为简单、清晰、通俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。罗素的悖论发表之后，接着又发现一连串悖论（后来归入所谓语义悖论）：1、理查德悖论
2、培里悖论 3．格瑞林和纳尔逊悖论。困难处理
罗素悖论提出，危机造成后，数学家纷纷提出自己的处理方案。民众期望能够通过对康托尔的集合论执行改造，通过对集合定义加以制约来消除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则务必充足狭窄，以保证消除一切冲突；另一面又务必充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”1908年，策梅罗在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统仍有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。公理化集合系统的建立，成功消除了集合论中显现的悖论，进而比较圆满地处理了第三次数学危机。但在另一面，罗素悖论对数学来说有着更为深刻的影响。它致使数学基础困难首次以最急切的需要的姿态摆到数学家面前，致使了数学家对数学基础的研究。而这方面的更深一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如环绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。以上简单介绍了数学史上受于悖论而致使的三次数学危机与度过，从中我们不难目睹悖论在助推数学发展中的重大作用。有人说：“提出困难就是处理困难的一半”，而悖论提出的正是让数学家无法回避的困难。它对数学家说：“处理我，不然我将吞掉你的体系！”正如希尔伯特在《论无限》一文中所表示的那样：“务必承认，在这些悖论面前，民众当前所处的情形是不能长期忍受下去的。民众试想：在数学这个号称牢靠性和真理性的模范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会致使不合理的结果。假使甚至于数学思考也失灵的话，那么应当到哪里去寻求牢靠性和真理性呢？”悖论的显现逼迫数学家投入最大的热情去处理它。而在处理悖论的过程中，各种理论应运而生了：首次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的成长与一批现代数学的造成。数学自此得到了蓬勃发展，这恐怕就是数学悖论重要意义之所在吧，而罗素悖论在其中起到了重要的作用。
理性不能回答有关其本身的困难，这个困难在康德期间就发现了。逻辑存在无法弥补的漏洞，却是人了解世界的唯一渠道。到头来你会发现，不能否定理性就能否定信仰。由于所谓唯心唯物之争均为建立在如此不完备的逻辑体系上的纯粹理性科学。既然理性无法对其本身作出分析，那么选择态度就不能以理性为根据，进而变成一种实质上的迷信。诚然假使你坚持要说自己的态度是合乎所谓的科学或实践的，那么其实你既不属于唯物也不属于唯心，本质上导致一种泛经验主义或者泛逻辑主义罢了。诚然，这里的逻辑主义诚然不是罗素的那个，导致一个形象点的称呼而已。异己词悖论和罗素悖论仍有其它的不同吗？
思考这个困难的动机原是如此：能否所有能致使两难推理的悖论（包含一部分所谓的语义学悖论）都有相同结构？假使不是，能不能把它们依照逻辑结构来分类？进而能够愈加清晰地看清每一类悖论造成的根源。比如罗素悖论，用符号表明出来，就可看出，它用了如此一个定义模式：x是S的，假使x不是x的。(略微严格一点写成如此：xRS,假使非xRx.R为一个二元谓词。)而在定义S时，S自身又可以用它自己的定义来判定，即可以把定义中的x换成S，致使如此一个语句：S是S的，假使S不是S 的。注意在定义中的两个语句互为充要条件，所以以前的定义中就蕴含了一个“P等价于非P”的结论，进而致使两难推理。该种定义模式自身是逻辑中的漏洞，康托的朴素集合论正由于没有防范的机制而深陷了这个逻辑漏洞，才致使了集合论形式的罗素悖论。罗素悖论已被清除，自己包含自己的集合是不或许存在的。
公理体系
不加定义的概念在类的公理体系中，有一部分基本的概念是不加定义的，民众只能从其客观含义上予以解释，但如此的解释仅仅起到帮助理解这些概念。数学中研究的任何一个客体对象都称为一个类。类的概念是没有任何制约。类与类之间或许存在着一种称为属于的关系，类A属于类B记为AinB，此时也称类A是类B的一个元素(简称为元)。民众可以把类理解形成是由若干元素构成的一个整体。一个类能否是其他类的元素是完全确定的，这就是类元素的确定性。类A假使不是类B的元素，则称A不属于B，记为AnotinB。其他不加定义的概念就是：类总是具有适当的性质，民众常以P(x)表明类x具有性质P。民众可以把性质理解为“有关类的一句表述”。民众还觉得逻辑学中的基本概念与基本知识是类理论的基础。类的外延公理
公理Ⅰ(外延公理)forallA,B(A=Biffforallx(xinAiffxinB))。公理Ⅰ的含义是：两个类“相等”的充要条件是它们的元素完全相同，这就是说，类完全由其元素确定。类的所有元素可以通俗地称为它的外延，正因这样，公理Ⅰ被称为外延公理。自此民众可以定义：定义1.1两个类A、B，假使它们的元素完全相同，则称这两个类是相等的，记为A=B。所以，类完全由其外延确定。由外延公理民众可以得出：类中的元素是不会重复显现的(精准地说，重复显现的元素依然被当作一个元素)，这就是类元素的互异性；类中的元素是不计其显现在类中的顺序的，这就是类元素的无序性。一个类或许由若干元素构成，而它自身又或许形成此外的类的元素，这就是类元素的相对性。类的内涵与罗素悖论
一般地说，类中的元素总是具有某种共同的性质的，这就是类的元素的同质性。一个类的所有元素所共同具有的、而且是这个类的元素所独有的性质(也就是说不是该类的元素就不具有该性质)通俗地称为该类的内涵。类的内涵与外延之间存在着直观的“反比关系”：类的内涵越多，其外延越小；内涵越少，其外延越大。对于类的内涵困难，民众一般期望：任给一个性质，满足该性质的所有类可以构成一个类。但如此的企图将致使如下的悖论：罗素悖论设性质P(x)表明“xnotinx”，现如果由性质P确定了一个类A----也就是说“forallx(xinAiffxnotinx)”。那么当下的困难是：AinA能否成立？首先，若AinA，则A是A的元素，那么A具有性质P，由性质P知AnotinA其次，若AnotinA，也就是说A具有性质P，而A是由所有具有性质P的类构成的，所以AinA。罗素悖论仍有一部分更为通俗的描述，如理发师悖论：理发师悖论某理发师发誓“要给所有不自已理发的人理发，不给所有自己理发的人理发”，当下的困难是“谁为该理发师理发？”。首先，若理发师给自己理发，那他就是一个“自己理发的人”，依其誓言“他不给自己理发”；其次，若“他不给自己理发”，依其誓言，他就务必“给自己理发”。而书目悖论也是罗素悖论的一种通俗表达形式。 真类与集合为处理此类悖论，民众把类区分为两种：定义1.2假使存在类B,而类A满足条件“existsB(AinB)”，则称类A为一个集合(简称为集)，记为Set(A)。定义1.2表明，一个集合是类的一种，它可以形成其它类的一个元素，这也正是集合的"严格"定义。有其他集合的定义：已存在一个类B,其中凡是符合属性P(x)的，可以组成一个类A。类A则是一个集合，或者说是B的一个子类。但对此种定义，民众可以提出质疑，不能保证A不是真类。但民众依旧乐于接受该定义的。但定义说不上严格。集合能执行各种类运算。真类不是集合的类就是真类。真类是一种能以本身作为元素的类，对于真类，类运算并没有一定都能执行。一个真类却不能形成其它类的元素。所以民众可以理解为“本性类是最高层次的类”。罗素悖论等于用反证法证明了真类的存在。但真类是抽象难理解的。但是，“类和集合是非常一般的概念，什么是集合的困难是不能彻底回答的。只有伴随数学实践来确定哪些类是集合，哪些类是真类，任什么时候间，总有一部分类无法确定其见底是不是集合。”类的内涵公理
公理Ⅱ(内涵公理)设P是一个性质，则existsA(forallx(xinAiffP(x)wedgeSet(x)))。公理Ⅱ的含义是：满足一定性质的所有集合可以构成一个类。内涵公理能够处理罗素悖论：令P(x)为“xnotinx”(称为罗素性质)，依内涵公理，民众不能确定所有满足P的类是否组成一个类，民众只能确定满足P的所有集合能够组成一个类A（下面提及的性质1.1），民众有结论“AinAiffP(A)wedgeSet(A)”，即“AinAiffAnotinAwedgeSet(A)”。此时不会显现悖论，只能得出结果：A不是集合，所以A是本性类，民众把这个类称为罗素类。对于内涵公理，任给一个对所有集合都满足的性质P，如P(x)=Set(x)，则有：性质1.1所有的集合组成一个真类。民众把所有集合组成的类称为极限类（真类），它是类理论所承认的“最大的”类。由公理Ⅰ(外延公理)、公理Ⅱ(内涵公理)构成的公理体系民众称为罗素公理体系，这是有关类的理论的最基本的公理体系。罗素公理体系与罗素悖论
罗素悖论造成的原因，是把真类当成集合。可以说，罗素公理体系在两方面避免罗素悖论：第一，不存在包含本身的集合（包含本身的类是真类）。第二，“所有”集合的总的不是集合！而是一个真类。由于“所有”一词，包含了本身。以书目悖论为例，依据罗素公理体系，所有符合条件的书的确组成了一个集合，由于它们可以与其它的书更深一步组成更大的整体（集合的定义）--比如它们和不符合条件的书共同组成了图书馆里所有的书（类）。困难“这本书要记下自己的书名吗？”，即是，它包含自己吗？已经没有回答的意义。由于依据内涵定义，不存在包含真类的集合。所以实物上不存在里面提及的那一本目录书（也有人觉得那是一个非法的集合，一个集合要包含本身，但又要和集合内其它元素相区别，是不或许的）。但注意，这一抽象概念却是存在的，它是一个真类。在理发师悖论里，理发师其实划出了一个真类。假使理发师修改一下自己的说法：“除了我理发师本人之外，我给所有不给自己理发的人理发”，悖论就被避免了。由于理发师此时定义了一个集合（依据声明，他不在自己定义的服务群里）。注意：罗素公理体系导致“避免”了罗素悖论，并没有处理罗素悖论。罗素公理体系的提出，是保证不造成悖论，又要求这些公理的规模充足宽，能容纳全部数学。就是说要给数学供应充足的集合。有关词条
青蛙效应，逆反效应，镜面效应，沼气，活字印刷术，指南针，罗盘，磁场，礼花。
参考资料
1、http://www.cas.ac.cn/html/Dir/2002/01/14/7804.htm2、http://www.confuchina.com/04%20zhishilun/zhuangwen.htm3、http://www.hongen.com/edu/kxdt/sxwg/kf021401.htm