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协方差

外汇网2021-06-19 12:43:00 61
什么是协方差

在几率论和统计学中,协方差用于衡量两个变量的总的误差。而方差是协方差的一种特殊情形,即当两个变量是相同的情形。

期望值分别为E(X) = μ 与 E(Y) = ν 的两个实数随机变量XY之间的协方差定义为:

其中,E是期望值。它也可以表明为:

直观上来说,协方差表明的是两个变量总的的误差,这与只表明一个变量误差的方差不同。

假使两个变量的改变趋势统一,也就是说假使其中一个大于本身的期望值,此外一个也大于本身的期望值,那么两个变量之间的协方差就是正数。

假使两个变量的改变趋势相反,即其中一个大于本身的期望值,此外一个却差于本身的期望值,那么两个变量之间的协方差就是负数。

假使XY是统计独立的,那么二者之间的协方差就是0。这是由于

但是,倒过来并没有成立。即假使XY的协方差为0,二者并没有一定是统计独立的。

协方差cov(X,Y)的度量单位是X的协方差乘以Y的协方差。而取决于协方差的有关性,是一个衡量线性独立的无量纲的数。

协方差为0的两个随机变量称为是不有关的。

协方差属性

假使XY是实数随机变量,ab不是随机变量,那么依据协方差的定义可以得到:

对于随机变量序列X1, ..., XnY1, ..., Ym,有

对于随机变量序列 X1, ..., Xn,有

协方差矩阵

分别为mn个标量元素的列向量随机变量XY,二者对应的期望值分别为μ与ν,这两个变量之间的协方差定义为m×n矩阵。

两个向量变量的协方差cov(X,Y)与cov(Y,X)互为转置矩阵。

协方差有时也称为是两个随机变量之间“线性独立性”的度量,但是这个含义与线性代数中严格的线性独立性线性独立不同。

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