层次分析法

层次分析法简介

层次分析法的特点是在对复杂的决策困难的本质、影响要素及其内在关系等执行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，进而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策困难供应简便的决策方法。尤其适合于对决策结果难于直接精准计量的场合。

在现实世界中，往往会遇到决策的困难，比如如何选择旅行景点的困难，选择升学志愿 的困难等等。在制定人做出最后的决定以前，他务必考虑很多方面的原因或者分析准则，最 终通过这些准则做出选择。 比如选择一个旅行景点时，你可以从宁波、普陀山、浙西大峡谷、雁荡山和楠溪江中选 择一个作为自己的旅行目的地，在执行选择时，你所考虑的原因有旅行的费用、旅行地的景 色、景点的居住条件和饮食情况以及交通情况等等。这些原因是相互制衡、相互影响的。我们将如此的复杂系统称为一个决策系统。这些决策系统中很多原因之间的比较往往无法用定 量的方式描述，此时需要将半定性、半定量的困难转化为定量计算困难。层次分析法是处理 这类困难的行之有效的方法。层次分析法将复杂的决策系统层次化，通过逐层比较各种关联 原因的重要性来为分析、决策供应定量的根据。层次分析法定义

所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策困难作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，从而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法，称为层次分析法。

层次分析法是将决策困难按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解分析矩阵特质向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。这里所谓“优先权重”是一种相对的量度，它显示各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标来说重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策困难。其用法是构造分析矩阵，求出其最大特质值。及其所对应的特质向量W，归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某有关指标的相对重要性权值。层次分析法的基本步骤

建立层次结构模型

在深入分析事实困难的基础上，将相关的各个原因依照不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸原因从属于上一层的原因或对上层原因有影响，同期又支配下一层的原因或承受下层原因的作用。最上层为目标层，一般只有1个原因，最下层一般为方案或对象层，中间可以有一个或几个层次，一般为准则或指标层。当准则过多时(譬如多于9个)应更深一步分解出子准则层。

构产生对比较阵

从层次结构模型的第2层开始，对于从属于(或影响)上一层每个原因的同一层诸原因，用成对比较法和1—9比较尺度构产生对比较阵，直到最下层。

计算权向量并做统一性检验

对于每一个成对比较阵计算最大特质根及对应特质向量，利用统一性指标、随机统一性指标和统一性比率做统一性检验。若检验通过，特质向量(归一化后)即为权向量：若不通过，需从新构追成对比较阵。

计算组合权向量并做组合统一性检验

计算最下层对目标的组合权向量，并依据公式做组合统一性检验，若检验通过，则可依照组合权向量表明的结果执行决策，否则需要从新考虑模型或从新构造那些统一性比率较大的成对比较阵。

美国运筹学家A.L.saaty于20世纪70年代提出的层次分析法(AnalyticHi~hyProcess，简称AHP方法)，是对方案的多指标系统执行分析的一种层次化、结构化决策方法，它将制定人对复杂系统的决策思维过程模型化、数量化。应用该种方法，制定人通过将复杂困难分解为若干层次和若干原因，在各原因之间执行简单的比较和计算，就可以得出不同方案的权重，为最佳方案的选择供应根据。运用AHP方法，大体可分为下方三个步骤:

步骤1:分析系统中各原因间的关系，对同一层次各元素有关上一层次中某一准则的重要性执行两两比较，构造两两比较的分析矩阵;

步骤2:由分析矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并执行分析矩阵的统一性检验;

步骤3:计算各层次对于系统的总排序权重，并执行排序。

最后，得到各方案对于总目标的总排序。

构造分析矩阵

层次分析法的一个重要特点就是用两两重要性程度之比的形式表明出两个方案的相应重要性程度等级。如对某一准则，对其下的 个方案执行两两对比，并按其重要性程度评定等级。记为第 和第 原因的重要性之比，表3列出Saaty给出的9个重要性等级及其赋值。按两两比较结果组成的矩阵 称作分析矩阵。分析矩阵 具有如下性质：

, 且 / ( =1,2,… ) 即 为正互反矩阵

表3 比例标度表

原因 比原因 量化值 同等重要 1 略微重要 3 较强重要 5 强烈重要 7 极端重要 9 两相邻分析的中间值 2，4，6，8

计算权重向量

为了从分析矩阵中提炼出有用信息，高达对事物的规律性的认识，为决策供应出科学根据，就需要计算分析矩阵的权重向量。

定义：分析矩阵 ，如对 … ，成立 ，则称 满足统一性，并称 为统一性矩阵。

统一性矩阵A具有下列简单性质:

1、 存在唯一的非零特质值 ,其对应的特质向量归一化后 记为 ，叫做权重向量，且 ；

2、 的列向量之和经规范化后的向量，就是权重向量；

3、 的任一列向量经规范化后的向量，就是权重向量；

4、对 的全部列向量求每一分量的几何平均，再规范化后的向量，就是权重向量。

所以，对于构造出的分析矩阵，就可以求出最大特质值所对应的特质向量，然后归一化后作为权值。依据上述定理中的性质2和性质4即得到分析矩阵满足统一性的条件下求取权值的方法，分别称为和法和根法。而当分析矩阵不满足统一性时，用和法和根法计算权重向量则很不精确。

统一性检验

当分析矩阵的阶数 时，一般难于构造出满足统一性的矩阵来。但分析矩阵偏离统一性条件又应有一个度，为此，务必对分析矩阵能否可接受执行鉴别，这就是统一性检验的内涵。

定理:设 是正互反矩阵 的最大特质值则必有 ,其中等式当且仅当 为统一性矩阵时成立。

应用上面的定理，则可以依据 能否成立来检验矩阵的统一性，假使 比 大得越多，则 的非统一性程度就越严重。所以，定义统一性指标

（1）

CI越小，表明统一性越大。顾虑到统一性的偏离或许是受于随机原因产生的，所以在检验分析矩阵能否具有满意的统一性时，仍需将C屿平均随机统一性指标RI执行比较，得出检验系数CR，即

（2）

假使 ，则觉得该分析矩阵通过统一性检验，否则就不具有满意统一性。

其中，随机统一性指标RI和分析矩阵的阶数相关，一般情形下，矩阵阶数越大，则显现统一性随机偏离的机会性也越大，其对应关系如表4:

表4 平均随机统一性指标RI标准值

矩阵阶数 3 4 5 6 7 8 9 RI 0.5149 0.8931 1.1185 1.2494 1.3450 1.4200 1.4616 可见，AHP方法不仅原理简单，而且具有扎实的理论基础，是定量与定性方法相结合的优秀的决策方法，尤其是定性原因起主导作用的决策困难。应用层次分析法的注意事项

假使所选的要素不合理，其含义混淆不清，或要素间的关系不正确，全将减弱AHP法的结果质量，甚至致使AHP法决策失利。

为保证递阶层次结构的合理性，需把握下方原则：

1、分解简化困难时把握首要原因，不漏不多；

2、注意对比较元素之间的力度关系，相差太悬殊的要素不能在与一层次比较。层次分析法应用实例

1、建立递阶层次结构；

2、构造两两比较分析矩阵；（正互反矩阵）

对各指标之间执行两两对比之后，然后按9分位比率排定各评价指标的相对优劣顺序，依次构造出评价指标的分析矩阵。

3、针对某一个标准，计算各备选元素的权重；

有关分析矩阵权重计算的方法有两种，即几何平均法（根法）和规范列平均法（和法）。

（1）几何平均法（根法）

计算分析矩阵A各行各个元素mi的乘积；

计算mi的n次方根；

对向量执行归一化处理；

该向量即为所求权重向量。

（2）规范列平均法（和法）

计算分析矩阵A各行各个元素mi的和；

将A的各行元素的和执行归一化；

该向量即为所求权重向量。

计算矩阵A的最大特质值?max

对于任意的i=1,2,…,n, 式中为向量AW的第i个元素

（4）统一性检验

构造好分析矩阵后，需要依据分析矩阵计算针对某一准则层各元素的相对权重，并执行统一性检验。尽管在构造分析矩阵A时并没有要求分析具有统一性，但分析偏离统一性过大也是不允许的。所以需要对分析矩阵A执行统一性检验。