大数定律

什么是大数定律

大数定律是指在随机试验中，每次显现的结果不同，但是大批重复试验显现的结果的平均值却差不多总是靠近于某个确定的值。

其原因是，在大批的观察试验中，个别的、偶然的原因影响而造成的差异将令相互抵消，进而使现象的必然规律性表明出来。比如，观察个别或少数家庭的婴儿出生情形，发现有的生男，有的生女，没有适当的规律性，但是通过大批的观察就会发现，男婴和女婴占婴儿总数的比重均会趋于50%。

大数定律的状况形式

定义1：设 $\varepsilon_n(n=1,2,\cdots)$ 为几率空间(Ω,F,P)上定义的随机变量序列(简称随机序列)，若存在随机变数 $\varepsilon$ ，使对任意 $\varepsilon>0$ ，恒有：

$\lim_{n\to\infty}p{|\varepsilon_n-\varepsilon|\ge\varepsilon}=0$ $\lim_{n\to\infty}p{|\varepsilon_n-\varepsilon|\le\varepsilon}=1$

则称随机序列 ${\varepsilon_n}$ 依几率收敛于随机变量 $\varepsilon$ ( $\varepsilon$ 也可以是一个常数)，并用下面的符号表明：

$\lim_{n\to\infty}\varepsilon_n=\varepsilon(p)$ 或 $\varepsilon_n\overrightarrow{p}\varepsilon$

定义2：设 ${\varepsilon_n}$ 为一随机序列，数学期望 $E(\varepsilon_n)$ )存在，令 $\bar{\varepsilon_n}= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \varepsilon_i$ ，若 $\lim_{n\to\infty}=$ 0(P)，则称随机序列 ${\varepsilon_n}$ 服从大数定律，或者说大数法则成立。

定义3：设Fn(x)是分布函数序列，若存在一个非降函数F(x)，对于它的每一接连点x，都有 $\lim_{n\to\infty}F_n(x)=F(x),F_n(x)\overrightarrow{w}F(x)$ ，则称分布函数序列Fn(x)弱收敛于F(x)。

定义4：设 $F_n(x)(n=1,2,3,\cdots),F(x)$ 分别是随机变量 $\varepsilon_n(n=1,2,3,\cdots)$ 及 $\varepsilon$ 的分布函数，若 $F_n(x)\overrightarrow{w}F(x)$ ，则称 ${\varepsilon_n}$ 依分布收敛于 $\varepsilon$ ，亦记为 $\varepsilon_n\overrightarrow{L}\varepsilon$ ，且有：(1)若 $\varepsilon_n\overrightarrow{P}\varepsilon$ ，则 $\varepsilon_n\overrightarrow{L}\varepsilon$ ；(2)设c为常数，则 $\varepsilon_n\overrightarrow{P}c$ 的充要条件是 $\varepsilon_n\overrightarrow{L}c$ 。

逆极限定理：设特质函数列fn(t)收敛于某一函数f(t)，且f(t)在t=0时接连，则相应的分布函数列Fn(x)弱收敛于某一分布函数F(x)，而且f(t)是F(x)的特质函数。

大数定律有若干个表现形式。这里仅介绍其中常用的两个重要定律：

（一）切贝雪夫大数定理