乌鸦悖论

应用

困难的总括

几千年至今，无数人观察了很多事务，比如地心引力法则，民众趋于相信其极或许是真理。该种类型的推理可以归纳成“归纳法原理”：

假使实例X 被观察到和论断 T 吻合合，那么论断 T 正确的几率增长。

亨佩尔给出了归纳法原理的一个例子：“所有乌鸦均为黑色的”论断。我们可以出去观察成千上万只乌鸦，然后发现他们均为黑的。在每一次观察之后，我们对“所有乌鸦均为黑的”的信任度会渐渐提升。归纳法原理在这里看上去合理的。

当下困难显现了。“所有乌鸦均为黑的” 的论断在逻辑上和“所有不是黑的东西不是乌鸦”等价。假使我们观察到一只红苹果，它不是黑的，也不是乌鸦，那么这次观察必会增长我们对“所有不是黑的东西不是乌鸦”的信任度，所以愈加敢肯定“所有的乌鸦均为黑的”！这个困难被归纳成：

我从未见过紫牛，I never saw a purple cow

处理提议

处理它和直觉的矛盾，哲学家们提出了一部分方法。美国逻辑学家纳尔逊·古德曼（Nelson Goodman）建议对我们的

其余一部分哲学家质疑“等价原理”。也许红苹果能够增长我们对论断“所有不是黑的东西不是乌鸦”的信任度，而不增长我们对 “所有乌鸦均为黑色的”信任。这个提议承受质疑，由于你不能对等价的两个命题有不同的信任度，假使你知道他们均为真的或均为假的。

古德曼，以及其后的威拉德·冯·奥曼·蒯因，运用术语“projectible pdicate”来描述这些相似于“乌鸦”和“黑色”的命题, 所有这类命题是支持归纳推理法的；而“非projectible pdicate”则为与只相反的后者, 如“非黑”和“非乌鸦”这些命题并没有支持归纳推理法。蒯因还提出一个需要确认的猜想：假使任何命题是projectible的；在无限物件构成的全集中，一个projectible的命题的补集永远是非projectible的。

如此一来，尽管“所有乌鸦均为黑的”和“所有不是黑的东西都不是乌鸦”这两个命题所拥有的信任度务必相等，但只有“黑色的乌鸦”才可同期增长两者的信任度，而“非黑色的非乌鸦”并没有增长任何一个命题的信任度。

仍有些哲学家觉得其实这个命题是完全正确的，出错的是我们自己的逻辑。其实观察到一个红色的苹果的确会增长乌鸦均为黑色的机会性！这就相当于：假使有人把宇宙中所有不是黑的物体都给你看，而你发现所有的物体都不是乌鸦，那你就完全可以断言所有乌鸦均为黑的了。这个“悖论”看上去荒谬导致由于宇宙中 “不是黑的”物体远远多于“乌鸦”，所以发现一个“不是黑的”物体只增长了极其微小的对于“乌鸦均为黑的”的信任度，而相对来说，每发现一只黑的乌鸦就是一个有力的凭证了。

贝叶斯定理

除了以上的陈述以外，“归纳法原理”仍有其他形式，就是贝叶斯推理。

设 X 为支持论断 T 的一个实例, 而 I 表明我们所有的已知信息。

表明论断 T 成立的概率，已知 X 和 I 均为成立的，可以推得

Pr（T|I）*Pr（X|TI）

Pr（T|XI）=----------------------------

Pr（X|I）

利用这个原理，这个悖论就不会显现了。假使有人随机选一个苹果，那么他目睹一个红苹果的概率和“乌鸦”的颜色是完全没相关系的。这时分子等于分母，所以分数等于1，所以以上讨论的概率不会更改。所以看见一只红色的苹果不会增长民众对“乌鸦均为黑色的”的信任度。

而假使那人是随叫随到选择一个非黑的物件，那个物件恰好是一个红的苹果，那么我们对得到一个分子大于分母的，差不多等于一的假分数。所以在这个情形下，看见一只红苹果的确会极微小地增长我们对“乌鸦均为黑色的”的信任度。

其实，伴随一个人目睹的不是黑色的东西的增长（并发现其中没有乌鸦），“乌鸦均为黑色的”的概率会趋向于1。