解释
理解生日悖论的核心在于领会相同生日的搭配可以是相当多的。如23个人可以造成C(23,2)= 23 × 22/2 = 253 种不同的搭配，而这每一种搭配都有成功相等的机会。从如此的角度看，在253种搭配中造成一对成功的配对也并没有是那样的不可思议。
换一个角度，假使你进入了一个有着22个人的房间，房间里的人中会和你有相同生日的几率便不是五十五十了，而是变得非常低。原因是这时候只能造成22种不同的搭配。生日困难事实上是在问任何23个人中会有两人生日相同的几率是多少。
计算
不计特殊的年月，如闰二月。先计算房间里所有人的生日都不相同的几率，那么
第一个人的生日是 365选365 第二个人的生日是 365选364 第三个人的生日是 365选363 : : : 第n个人的生日是 365选365-(n-1) 所以所有人生日都不相同的几率是： (365/365)× (364/365) ×(363/365) ×(362/365)× ... ×(365-n+1/365) 那么，n个人中有起码两个人生日相同的几率就是： 1-(365/365)× (364/365) ×(363/365) ×(362/365)× ... ×(365-n+1/365) 所以当n=23的时机，几率为0.507 当n=100的时机，几率为0.9999996试探
生日悖论可以用计算机代码经验性模拟：
days := 365;
numPeople := 1; prob := 0.0; while prob < 0.5 begin numPeople := numPeople + 1; prob := 1 - ((1-prob) * (days-(numPeople-1)) / days); print "Number of people: " + numPeople; print "Prob. of same birthday: " + prob;延伸
此困难此外一个范化就是求得要在随机选取多少人中才可寻到2个人生日相同，相差1日，2日等的几率大于50％ 。这是个更难的困难需要用到容斥原理。结果(如果生日任然依照平均分布)正像在标准生日困难中那样让人惊讶：
2人生日相差k天 #需要的人数
0 23 1 14 2 11 3 9 4 8 5 7 7 6 只需要随机抽取6个人，寻到两个人生日相差一周在内的几率就会胜过50%。应用
生日悖论广泛的应用于检测哈希函数:N-位长度的哈希表或许发生碰撞试探次数不是2N次而是只有2N/2次。这一结论被应用到破解cryptographic hash function的生日攻击中。生日困难所隐含的理论已经在[Schnabel 1938]名字叫做capture-recapture的统计试验得到应用，来预期湖里鱼的数量。[1]