海盗博弈

简述

海盗博弈是一个简单的数学博弈。该博弈描述了假使遵循经济人的举动，结果或许让人吃惊。

海盗博弈故事1

有五个非常聪明的理性的海盗，分别编号P₁,P₂,P₃,P₄,P₅。他们一同抢夺了100个金币，当下需要想办法分配这些金币。 海盗们有严格的等级制度：P₁ < P₂ < P₃ < P₄ < P₅。 海盗们分配原则是：等级最高的海盗P5提出一种分配方案。然后所有的海盗投票决定能否接受分配，包含提议人。而且在票数相同的情形下，提议人有决定权。假使提议通过，那么海盗们依照提议分配金币。假使没有通过，那么提议人将被扔出船外，然后由下一个最高等级的海盗提出新的分配方案。 海盗们基于三个原因来做决定。首先，要能存活下来。其次，自己的利益最大化(即得到最多的金币)。最后，在所有其余条件相同的情形下，优先选择把别人扔出船外。

当下，假如你是等级最高的P₁，你会做何选择？直觉上，为了保住自己的生命，你或许会选择留给自己很少的金币，以便让大家答应自己的决策。但是，这和理论结果相差甚远。

处理这个困难的核心是换个思维方向。与其苦思冥想你要解决什么决策，不如先想想最后剩下的人会做什么决策。如果当下还剩下P₁和P₂了，P₂会做什么决策？很显著，他将把100金币留给自己，然后投自己一票。受于在票数相同的情形下提议人有决定权，无论P₁同不答应，P₂全会达到自己的目的。

当下再把P₃加进来。P₁知道，假使P₃被扔下海，那么游戏又将执行到上面的情形，P₁终将一无所有。P₃同样目睹了这一点，所以他知道，只要他给P₁一点点利益，P₁就会投票支持他的决策。所以P₃最终的决策应当是：

P₄的策略也相似。受于他需要50%的支持，所以他只需贿赂1个金币给P₂就可以了。P₂一定会支持他(否则轮到P₃做决策，他就一无所有啦)。所以P₄最终的决策是：

P₅的情形略有不同。受于这次一共有5个人，所以他起码需要贿赂两个海盗以使自己的会议通过。唯一的决策就是：

博弈

有五个理性的海盗，A,B,C,D和E，寻到了100个金币，需要想办法分配金币。

海盗们有严格的等级制度：A比B岗位高，B比C高，C比D高，D比E高。

海盗世界的分配原则是：等级最高的海盗提出一种分配方案。所有的海盗投票决定能否接受分配，包含提议人。而且在票数相同的情形下，提议人有决定权。假使提议通过，那么海盗们依照提议分配金币。假使没有通过，那么提议人将被扔出船外，然后由下一个最高岗位的海盗提出新的分配方案。海盗们基于三个原因来做决定。首先，要能存活下来。其次，自己得到的利益最大化。最后，在所有其余条件相同的情形下，优先选择把别人扔出船外。

结果

直觉上觉得，A海盗会给自己分配很少，以避免被扔出船外。但是这和理论结果相差甚远。

让我们倒过来看：假使还剩下D和E，D给自己100个金币，给E0个。由于D有决定权，所以分配促成。

假使剩下三个人（C，D和E），C知道D下轮会给E0个金币，所以C这次给E1个金币，让E支持自己以致使提议通过。所以假使剩下三个人，结果是C：99，D：0，E：1。

假使B,C,D和E剩下，B知道上述结果。所以为了避免被扔出去，他只需要给D1个金币，由于他有决定权，只需要D的支持就充足了。所以他会提议B：99，C：0，D：1，E：0。有人或许想到提议B：99，C：0，D：0，E：1，由于E知道即便把B扔出去，也不会得到许多了。但受于海盗会优先把别人扔出去，所以E会选择杀死B，然后依然可以从C的提议中得到相同金币。

如果A知道所有的一切，他就能选择让C和E来支持他，提议变成：

A:98金币B:0金币C:1金币D:0金币E:1金币[1]同样的A：98，B：0，C：0，D：1，E：1或者其余的提议都不是最好的，由于D会选择把A扔出去，然后从B那里得到相同的金币。^[1]

海盗博弈的延伸1

假使海盗的数目不止5个呢？ 继续依照这个逻辑推理，P₆的决策会是：…一直到P₂00,它会给自己留1个金币，同期给剩下所有偶数编号的海盗1个金币。

假使海盗数是201个，那么P₂₀₁该怎么做呢？乍一看去，他好像没有充足的钱去贿赂别的海盗了。然而，为了保住自己的性命，他依旧可以把自己手中的金币全分出去，即给每个奇数编号的海盗(P_1~P₁₉₉)一个金币。如此尽管空手而归，但不至于人财两空。

P₂₀₂也只能把这100个金币全部贿赂给其余100个海盗，这100个海盗务必是在P₂₀₁做决策的情形下什么也得不足的海盗。受于符合如此条件的海盗有101个(所有偶数编号的海盗P₂₀₁)，P₂₀₂的决策不再是唯一的了！有101种方案供他选择。

可怜的是P₂₀₃。受于人数大量，他实在没有充足的钱去贿赂其余海盗以得到充足的支持(他需要起码102个人的支持，包含他自己)。所以，不论P₂₀₃做什么决策，他都难逃被扔出船外的厄运了。然而P₂₀₃并没有我们想象中的那么悲情，由于如此的悲剧发生当且仅当船上恰好有203个海盗。我们再增长一个海盗，P₂₀₄。P₂₀₄明白，P₂₀₃当下的唯一愿望就是活下来…所以不论P₂₀₄做什么决策，P₂₀₃全将举双手支持他(诚然举多少手都只能算一票)。所以P₂₀₄可以靠他自己的一票，P₂₀₃的一票和贿赂此外100个海盗得到恰好50%的支持。

P₂₀₄或许的决策也只有101种，如下表：(或许得到1金币的海盗用"Y"标示)

P₂₀₅就没有那么幸运了。他不能无偿的得到P₂₀₃和P₂₀₄的支持。所以假使轮到P₂₀₅做决策，他也必定被扔到船外。P₂₀₆也一样，即使他能得到P₂₀₅的免费支持，但是这还不够。P₂07需要得到起码104个海盗的支持，所以有了P₂₀₅,P₂₀₆的无偿支持依旧不够。

P₂₀₈就比较幸运了。他也是需要得到104个海盗的支持，但P₂₀₅,P₂₀₆,P₂₀₇，加之他自己，再加之贿赂100个海盗，恰好104票。

P_208或许的决策：(这次他有种决策)

从这里我们又看出了新的规律：

从P₂₀₁之后，在每两个能够做出决策保住自己生命的海盗之间，存在着一部分无论如何决策全将被扔到船外的海盗。而这些海盗会支持在这之后的那个能够作出决策保住自己生命的海盗。用数学来表达，设在P₂₀₁之后，能够做出决策保住自己生命的海盗的编号所构成的序列为a_n。则有：

对于(2)，

若a_n是偶数，则a_n = 2a_{(n − 1)} − 200

若a_n是奇数，则a_n = 2a_{(n − 1)} − 199

给定一个固定的初值，数列的下一项有两个或许解：一个奇数解、一个偶数解，且偶数解比奇数解小1。再考虑我们原困难的意义，到达偶数解时，偶数编号的海盗已经能够作出决策保全自己。这表明我们应当舍弃所有奇数解。

由a_n = 2a_{(n − 1)} − 200以及a₀ = 202，我们得到通解为:a_n = 200 + 2^{n + 1}。顾虑到P₂₀₁也能保全自己，我们可以把所有能够保全自己但却得不足金币的海盗的编号写成统一表达式：

不难推出这些海盗或许的决策种数为,其中

参考文献

↑ ^1.01.1 逻辑与直觉–海盗博弈