简介
多数票规则中存在一个显著的投票悖论。这一悖论由法国著名社会学家多孔塞在18世纪80年代发现，所以又称多孔塞悖论。对这一悖论，民众以一个例子加以表明。假定有三个投票者里根、布什、克林顿对ABC三个议案执行表决。假定里根的个人偏好是A>B>C，布什的个人偏好是B>C>A，克林顿的个人偏好是C>A>B。假使在A和B之间执行选择，那么肯定是A获胜；假使在B与C之间选择，则肯定是B获胜；假使在C与A之间选择，则肯定是C获胜。也就是说投票深陷循环当中。需要表示的是投票悖论只在备选方案胜过两个时才会显现，在只有一个或两个备选方案时多数票规则可以得到一个均衡的结果，或者说此时多数票规则是一个最优规则。这酒是为何在社会生活中民众市场运用“少数服从多数”的规则。还要注意的是一旦投票人数较多或备选方案胜过3个，显现投票悖论的几率就会放大。当3个人对3个备选方案执行表决时，显现投票循环的几率为5.7%；当27个人对3个备选方案执行表决时，显现投票循环的几率为11.1%；当3个投票人对17个备选方案执行表决时，显现投票循环的几率为46.4%；当19个投票人对17个备选方案执行投票时，显现投票循环的几率为62.6%。如何清除投票悖论，这里的核心是确立表决程序。早在1785年，多孔塞就提出，处理投票循环的方法之一就是依照预先设计好的程序对各种备选方案执行两两比较，在每一对方案中选择出多数票支持的方案，最终获胜的那个方案被称为“多孔塞获胜者”。仍有一种打破循环的程序叫“淘汰程序”，该种程序安排是：假使在若干个方案中执行选择，在每一次两两比较中都淘汰掉得票最少的方案，获胜的方案再同剩下的方案执行角逐，最后剩下的就是获胜者。这也表明在多数票规则下，操纵投票程序就可以控制表决结果。
起源
孔多塞发现这一悖论是在十八世纪。200多年来，西方国家对于民主政治的研究极其深入，有关投票困难已经形成系统和成熟的理论体系，孔多塞、阿罗、阿马蒂亚·森等都曾在这一领域作出过杰出贡献。这些研究助推了西方民主的持续发展。
十八世纪法国思想家孔多赛就提出了著名的“投票悖论”，也称做是“孔多塞悖论”：如果甲乙丙三人，面对ABC三个备选方案，有如图的偏好排序。受于甲乙都觉得B优于C，依据少数服从多数原则，社会也应觉得B优于C；同样乙丙都觉得C优于A，社会也应觉得C优于A。所以社会觉得B优于A。但是，甲丙都觉得A优于B，所以显现冲突。投票悖论反应了直观上不错的民主机制潜在的不协调。甲A＞B＞C
乙B＞C＞A丙C＞A＞B在得多数票获胜的规则下，每个人均依照他的偏好来投票。大部分人是偏好x胜于y，同样大部分人也是偏好y胜于z。依照逻辑上的统一性，该种偏好应该是值得传递的(transivity)，即大部分人偏好x胜于z。但事实上，大部分人偏好z胜于x。所以，以投票的多数规则来确定社会或集体的选择会造成循环的结果，这就好象一只狗在追自己的尾巴，会没完没了地循环下去。结果，在这些选择方案中，没有一个能够得到多数票而通过，这被称作“投票悖论”(thevotingparadox)，它对所有的公共选择困难均为一种固有的难题，所有的公共选择规则都很难避开该种两难境地。
发展
1972年诺贝尔经济学奖的得到者肯尼思·阿罗，在他的《社会选择与个人价值》（1951）中，证明了著名的阿罗不机会定理，把这个投票悖论形式化了。在该书中，他运用数学工具把孔多塞的观念严格化和一般化了。那
么，能不能设计出一个清除循环投票，作出合理决策的投票方案呢？阿罗的结论是：根本不存在一种能保证效率、尊重个人偏好、而且不依靠程序(agenda)的多数规则的投票方案。阿罗证明，不存在与时满足如下四个基本公理的社会选择函数：
1）个人偏好的无制约性，即对一个社会或许存在的所有状态，任何逻辑上或许的个人偏好都不应该先验地被消除；
2）弱帕累托原则，
3）非有关目标独立性，即有关一对社会目标的社会偏好序不受其它目标偏好序改变的影响；
4），社会偏好的非独裁性。
简单地说，阿罗的不或许定理代表着，在一般情形下，当社会所有成员的偏好为已知时，不或许通过适当的方法从个人偏好次序得出社会偏好次序，不或许通过适当的程序精准地表达社会全体成员的个人偏好或者高达合意的公共决策。投票悖论显示：根本不存在一种能满足阿罗五个如果条件的社会选择原理。处理投票悖论的方法是制约投票偏好，马上多峰偏好改为单峰偏好。
处理
1998年诺贝尔经济学奖得到者阿马蒂亚·森在20世纪70年代提出对“投票悖论”的处理方法。阿马蒂亚·森所提出的处理投票悖论、绕过“阿罗不或许定理”的方法就是更改甲、乙、丙其中一个人的偏好次序，以处理投票悖论的困难。
比如将甲的偏好次序从（A＞B＞C）更改为（A＞C＞B）新的偏好次序排列：甲A＞B＞C
A＞C＞B乙B＞C＞A丙C＞A＞B于是得到三个社会偏好次序——（A＞B）（C＞B）（C＞A），如此就能避开投票悖论，诚然它却更改了甲的偏好次序。
阿马蒂亚·森把这个发现加以延伸和拓展，得出了处理投票悖论的三种选择模式：
一、所有人都答应其中一项选择方案并不是是最佳；
二、所有人都答应其中一项选择方案并不是是次佳；三、所有人都答应其中一项选择方案并不是是最差。阿马蒂亚·森表明在上述三种选择模式下，投票悖论不会再显现，取而代之的结果是得大部分票者获胜的规则总是能高达唯一的决定。但是有一个困难是为了追求统一性，更改、忽视、牺牲了个人偏好次序。
应用
在中国，民主发展的进度正在增速，有关民主的学术研究成果也可谓丰硕，但是对于投票困难的研究还比较薄弱。在投票的实践中也存在简单化的倾向，或者采取单一的简单多数原则，或者人为规定领导和普通干部职工的
权重等，随意性比较大。当前，在各个国家或不同领域的民主投票中，民众探索和采取了多种不同的程序模式，比如绝对多数程序、相对多数程序、正向淘汰程序、反向淘汰程序、两轮决胜程序、平均分淘汰程序等等。这些程序和模式哪一种更适合民众中国国情，哪一种更有助于党政干部的选拔任用？这些都需要民众认真研究。目前，各级党委和组织部门，党建理论专家和学者应当在投票困难上投入许多的精力，在学习借鉴西方投票理论的同期，紧密联系中国事实，注意研究中国政治体制和社会生态条件下的选民心理、投票规则，尤其要注意运用实证研究和数理分析的方法，使民众的政策措施愈加科学合理。可以说，要真正深化干部制度改革，投票困难是不能绕过的坎。投票悖论可以留待理论家逐渐研究处理，而实践中存在的一部分悖论却需要民众赶紧加以克服。比如，所谓民主，从字面上理解，就是“人民做主”，但这里的“做主”务必是“做自己的主”，通过投票等形式，选出可以代表自己利益的人表达自己的意向或代行决策和管理。选出的人或方案与自己的切身利益紧密有关，这就决定了选民会维持理智和负责任的立场。但是当前的干部推荐，很多情形下推荐的是与自己毫无关系的岗位和人选，在一个县里兴师动众推荐出的干部，或许要到此外一个县任职；某一个处缺少了一位副职，要由与这个处并没有有关的其余处室人士通过选票定夺。该种“替别人做主”的民主不仅与民主的基本要义相悖，而且在实践中也已经显露出显著的弊端。再比如，在一个领导班子内部，副职是正职的助手，要向正职负责。但是，依照现行的干部管理规范，一个领导班子的正职并没有任用班子副职的权力，整个班子都经由不同规模的民主推荐和考察，由上级任命。既然副职的提拔运用与正职无关，那么在工作上，副职就缺乏向正职负责的活力和制衡，这就给班子内部的团结制造了隐患。同期，也可以发现这里面存在一个显著的悖论，即上级部门任命一个干部作为正职，前提是相信他能够胜任所从事的事业；但是在用人困难上，上级部门却不能予以他充分的信任，务必替他安排好自己的左膀右臂。
总之，有关民主和投票，只能说刚刚启动。有专家研究表示，目前在干部制度改革上，既存在民主不足，也存在民主过分的困难，恐怕，这才是投票悖论的真正症结。[1]