MonteCarlo方法

起源

蒙特卡罗模拟由著名的摩纳哥赌城而得名，他是一种非常强有力的方法学。对专业人士来看，该种模拟为方便的处理问题而复杂的事实困难开启了一扇大门。预期蒙特卡罗模拟最著名的早期运用是诺贝尔奖物理学家Enrico Fermi（有时也说是原子弹之父）在1930年的应用，那时他用一种随机方法来计算刚发现的中子的性质。蒙特卡罗模拟是曼哈顿计划所用到的模拟的核心部分，在20世纪50年代蒙特卡罗模拟就用在Los Alamos国家实验室发展氢弹的早期工作中，并流行于物理学和运筹学研究领域。兰德公司和美国空军是这个期间首要的两个负责资助和传播蒙特卡罗方法的组织，今天蒙特卡罗模拟也被普遍应用于不同的领域，包含工程，物理学，研发，商业和金融。

简来说之，蒙特卡罗模拟创造了一种如果的将来，它是通过造成数以千计甚至成千上万的样本结果并分析他们的共性达到的。在实践中，蒙特卡罗模拟法用于风险分析，风险鉴定，敏感度分析和预期。模拟的一个替代方法是极其复杂的随机闭合数学模型。对一个公司的分析，运用研究生层次的高等数学和统计学显然不合逻辑和事实。一个出色的分析家会让用所有他或她可得的工具以最简单和最事实的方式去得到相同的结果。任何情形下，建模正确时，蒙特卡罗模拟可以供应与更完美的数学方法类似的答案。另外，有很多事实生活应用中不存在闭合模型而且唯一的渠道就是应用模拟法。那么，见底什么是蒙特卡罗模拟以及它是怎么工作的？创立者

首要是这四名：Stanislaw Marcin Ulam, Enrico Fermi（恩里科·费米）, John von Neumann（冯·诺依曼）和 Nicholas Metropolis。

创立者简介

Stanislaw Marcin Ulam是波兰裔美籍数学家，早年是研究拓扑的，后因参与曼哈顿工程，兴趣遂转向应用数学，他首先提出用Monte Carlo方法处理计算数学中的一部分困难，然后又将其应用到处理链式反映的理论中去，可以说是Monte Carlo方法的奠基人；

Enrico Fermi是个物理大牛，理论和实验同期均为大牛，这在物理界很少见，在“物理大牛的八卦”那篇文章里提及这个人很多次，对于这么牛的人只能是英年早逝了（别说我嘴损啊，上帝都嫉妒！）；

John von Neumann可以说是计算机界的牛顿吧，太牛了，结果和Fermi一样，被上帝嫉妒了；

Nicholas Metropolis，希腊裔美籍数学家，物理学家，计算机科学家，这个人对Monte Carlo方法做的贡献相当大，正式受于他才致使Monte Carlo方法能够得到这样大量的应用，这人当下还活着，与前几位牛人不同，Metropolis很专一，他一生首要的贡献就是Monte Carlo方法。处理困难的基本思路

Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被民众所发现和利用。早在17世纪，民众就知道用事件发生的"频率"来决定事件的"几率"。19世纪民众用投针试验的方法来决定圆周率π。本世纪40年代电子计算机的显现，尤其是近年来高速电子计算机的显现，致使用数学方法在计算机上大批、迅速地模拟如此的试验形成或许。

为了表明Monte Carlo方法的基本思想，让我们先来说一个简单的例子，从此例中你可以感受如何用Monte Carlo方法考虑困难。

例:比如y=x^2(对x)从0积到1，结果就是下图红色部分的面积：

注意到函数在(1,1)点的取值为1，所以整个红色区域在一个面积为1的正方形里面。所以所求区域的面积即为在正方形区域内任取点，点落在所求区域的几率。这个制约条件是y

1。构造或描述几率过程： 对于自身就具有随机性质的困难，如粒子输运困难，首要是正确描述和模拟这个几率过程，对于本来不是随机性质的确定性困难，比如计算定积分，就务必事先构造一个人为的几率过程，它的某些参量恰好是所要求困难的解。即要将不具有随机性质的困难转化为随机性质的困难。

2。达到从已知几率分布抽样： 构造了几率模型以后，受于各种几率模型都可以看作是由各种各样的几率分布组成的，所以造成已知几率分布的随机变量（或随机向量），就形成达到蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个几率分布是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有该种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有该种分布的总的的一个简单子样，也就是一个具有该种分布的相互独立的随机变数序列。造成随机数的困难，就是从这个分布的抽样困难。在计算机上，可以用物理方法造成随机数，但价格昂贵，不能重复，运用不便。其他方法是用数学递推公式造成。如此造成的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。然而，经历多种统计检验显示，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，所以可把它作为真正的随机数来运用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法均为借助于随机序列来达到的，也就是说，均为以造成随机数为前提的。自此可见，随机数是我们达到蒙特卡罗模拟的基本工具。 建立各种预期量： 一般说来，构造了几率模型并能从中抽样后，即达到模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的困难的解，我们称它为无偏预期。

3。建立各种预期量，相当于对模拟实验的结果执行考察和登记，从中得到困难的解。常用的预期量有无偏预期，最大似然预期，渐进有偏预期等，运用最多的是无偏预期。Monte Carlo模拟的特点

蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于处理多维或原因复杂的困难非常问题，而蒙特卡罗方法对于处理这方面的困难却比较简单。其特点如下：

· 直接跟踪粒子，物理思路清晰，易于理解。

· 采取随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反应了统计涨落的规律。

· 不受系统多维、多原因等复杂性的制约，是处理复杂系统粒子输运困难的好方法。

· MC程序结构清晰简单。

· 研究人士采取MC方法编撰程序来处理粒子输运困难，比较容易得到自己想得到的任意中间结果，应用灵活性强。

· MC方法首要弱点是收敛速度较慢和误差的几率性质，其几率误差正比于，假使单纯以放大抽样粒子个数N来减小误差，就要增长很大的计算量。

近十年来，蒙特卡罗方法发展迅速，从1983年到1988年期刊论文数量上涨了五倍，有几本好书是有关电子? 光子蒙特卡罗困难的[注1]，蒙特卡罗方法的代码被觉得是黑匣子，它已形成计算数学中不可缺少的构成部分，这首要是由于下方原因：

· 传统的分析方法承受了困难复杂性的制约。

· MC方法直观，对实验者很有吸引力。

· 计算机变得更快更便宜。

· 量子理论的成长为我们给予了辐射与物质相互作用的截面报告。达到技巧

matlab中各种造成相应分布伪随机数的命令。假使模拟的分布在这些命令所能供应的之外，需要相应的技巧，一是造成随机数的技巧，如线性乘同余方法（Linear Congruential Method)等，其他处理困难的思想技巧，如 1768年，法国数学家Comte de Buffon利用投针实验预期p的值。